Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral arcsin xx^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica e também fazer algumas substituições para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • (porque a derivada de é mais simples)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx (arcsin x) , dx = 1raiz1 - x^2 , dx e v = integral 1x^2 , dx = -1x .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arcsin xx^2 , dx = uv - integral v , du = (-arcsin xx) - integral (-1x) cdot 1raiz1 - x^2 , dx
Simplificando:
= -arcsin xx + integral 1x raiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante dx = cos theta , dtheta . Para isso, faremos uma substituição trigonométrica. Vamos deixar raiz1 - x^2 = cos theta , então:
integral 1sin theta cdot cos theta cdot cos theta , dtheta = integral 1sin theta , dtheta = integral csc theta , dtheta
integral csc theta , dtheta = -ln |csc theta + cot theta| + C
Substituindo na integral:
- ln | 1x + raiz1 - x^2x | + C = -ln ( 1 + raiz1 - x^2x ) + C
A integral de é:
Voltando para :

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
integral arcsin xx^2 , dx = -arcsin xx - ln ( 1 + raiz1 - x^2x ) + C

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