Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(h) integral x^4-2 x^3-x^2+2 xx-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O enunciado pede para calcular a integral de:
integral x^4-2 x^3-x^2+2 xx-2 , dx
Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica onde o numerador é um polinômio de quarto grau e o denominador é um polinômio de primeiro grau. Para resolver isso, vamos precisar usar a divisão polinomial para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador pelo denominador . A divisão polinomial nos ajuda a escrever a fração como um polinômio mais um resto dividido pelo denominador.
Vamos dividir por :
  1. Dividendo:
  2. Divisor:
Passo a Passo da Divisão:
  • Primeiro termo:
  • Multiplicar o divisor pelo primeiro termo:
  • Subtrair do dividendo:
Repete-se o processo para os termos restantes:
  • Próximo termo:
  • Dividir:
  • Multiplicar:
  • Subtrair:
Agora, não há mais termos para trazer, então a divisão termina com quociente e resto .

Passo 3

Com o resultado da divisão, podemos reescrever a integral original:
integral x^4-2 x^3-x^2+2 xx-2 , dx = integral (x^3 - x) , dx
Isso simplifica nossa integral para algo mais fácil de trabalhar.

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo. A regra básica de integração para potências de integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C é:
integral x^3 , dx = x^44
Onde integral (-x) , dx = -x^22 é a constante de integração.
Aplicando isso aos termos da nossa integral:
  1. Integrar :
  1. Integrar :

Passo 5

Juntando os resultados das integrais:
x^44 - x^22 + C
Onde é a constante de integração que aparece sempre que fazemos uma integral indefinida.

Resposta

A integral indefinida é:
x^44 - x^22 + C

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