Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O enunciado pede para calcular a integral de:
Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica onde o numerador é um polinômio de quarto grau e o denominador é um polinômio de primeiro grau. Para resolver isso, vamos precisar usar a divisão polinomial para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador pelo denominador
. A divisão polinomial nos ajuda a escrever a fração como um polinômio mais um resto dividido pelo denominador.
Vamos dividir
por
:
- Dividendo:
- Divisor:
Passo a Passo da Divisão:
- Primeiro termo:
- Multiplicar o divisor pelo primeiro termo:
- Subtrair do dividendo:
Repete-se o processo para os termos restantes:
- Próximo termo:
- Dividir:
- Multiplicar:
- Subtrair:
Agora, não há mais termos para trazer, então a divisão termina com quociente
e resto
.
Passo 3
Com o resultado da divisão, podemos reescrever a integral original:
Isso simplifica nossa integral para algo mais fácil de trabalhar.
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo. A regra básica de integração para potências de
é:
Onde
é a constante de integração.
Aplicando isso aos termos da nossa integral:
- Integrar
:
- Integrar
:
Passo 5
Juntando os resultados das integrais:
Onde
é a constante de integração que aparece sempre que fazemos uma integral indefinida.
Resposta
A integral indefinida é: