integral x tan (2 x)^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes e simplificar expressões trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da integral que serão u = x Rightarrow du = dx e dv = tan^2(2x) , dx Rightarrow v = integral tan^2(2x) , dx na fórmula de integração por partes:

Passo 3

Agora, precisamos calcular integral tan^2(2x) , dx = integral (sec^2(2x) - 1) , dx . Sabemos que . Vamos aplicar essa identidade trigonométrica:

Passo 4

Integrando termo a termo:
integral sec^2(2x) , dx - integral 1 , dx
Sabemos que integral sec^2(2x) , dx = 12 tan(2x) + C e integral 1 , dx = x + C . Aplicando a substituição v = 12 tan(2x) - x :
Portanto:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes integral x tan^2(2x) , dx = x ( 12 tan(2x) - x ) - integral ( 12 tan(2x) - x ) , dx :

Passo 6

Simplificando a expressão:
= x2 tan(2x) - x^2 - 12 integral tan(2x) , dx + integral x , dx
Sabemos que = x2 tan(2x) - x^2 - 12 ( -12 ln|cos(2x)| ) + x^22 + C e . Substituindo:

Passo 7

Simplificando os termos:
= x2 tan(2x) - x^2 + 14 ln|cos(2x)| + x^22 + C
= x2 tan(2x) - x^22 + 14 ln|cos(2x)| + C

Resposta

integral x tan^2(2x) , dx = x2 tan(2x) - x^22 + 14 ln|cos(2x)| + C

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