integral raizA+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente da integração de funções que envolvem expressões quadráticas dentro de uma raiz. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica ou hiperbológica, mas vou te mostrar de uma forma mais simples usando uma substituição comum.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão que está dentro da raiz: . Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição onde , onde é a função seno hiperbólico. Mas para simplificar, vamos optar por uma substituição mais direta.

Passo 3

Vamos usar a substituição integral raizA + A tan^2(theta) cdot raizA sec^2(theta) , dtheta . Dessa forma, . Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raizA(1 + tan^2(theta)) = raizA sec^2(theta) = raizA sec(theta)
Agora, substituindo de volta na integral:
integral raizA sec(theta) cdot raizA sec^2(theta) , dtheta = A integral sec^3(theta) , dtheta

Passo 5

A integral de integral sec^3(theta) , dtheta = 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln|sec(theta) + tan(theta)| + C é uma integral conhecida, que pode ser resolvida usando a técnica de integração por partes. O resultado é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos reverter a substituição que fizemos inicialmente. Sabemos que sec(theta) = raiz1 + tan^2(theta) = raiz1 + x^2A = raizA + x^2raizA , então:
tan(theta) = xraizA
E:
12 raizA + x^2raizA cdot xraizA + 12 ln|raizA + x^2raizA + xraizA| + C
Substituindo esses de volta na expressão:

Passo 7

Simplificando os termos:
x raizA + x^22A + 12 ln|raizA + x^2 + xraizA| + C
Podemos também escrever a constante x raizA + x^22A + 12 ln|raizA + x^2 + x| + C absorvendo os termos constantes dentro do logaritmo, então:

Resposta

A integral de x raizA + x^22A + 12 ln|raizA + x^2 + x| + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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