Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva
e o eixo ox;
curva
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcularmos a área da figura que está limitada pelas curvas dadas: a curva
e o eixo
(que é o eixo horizontal). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração definida, que nos ajuda a encontrar a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. Podemos simplificar essa expressão multiplicando os termos:
Agora, precisamos encontrar os pontos onde essa curva cruza o eixo
. Isso acontece quando
.
Passo 3
Vamos resolver
:
Isso nos dá três soluções:
Então, a curva cruza o eixo
nos pontos
,
e
.
Passo 4
Para encontrar a área entre a curva e o eixo
, vamos integrar a função
nos intervalos onde a curva está acima do eixo e onde está abaixo. A área total será a soma das áreas absolutas dessas regiões.
Primeiro, vamos verificar em quais intervalos a curva está acima ou abaixo do eixo
.
Passo 5
Vamos escolher valores de
em cada intervalo para ver se
é positivo ou negativo:
-
Para
entre 0 e 1, escolhemos : -
Para
entre 1 e 2, escolhemos :
Isso significa que:
- De
a , a curva está acima do eixo . - De
a , a curva está abaixo do eixo .
Passo 6
Agora, vamos calcular a área nos dois intervalos separadamente. A fórmula para a área entre uma curva e o eixo
de
a
é:
Mas como já sabemos onde a curva está acima ou abaixo, podemos remover o valor absoluto usando o sinal correto.
Passo 7
Calculando a área de
a
:
E a área de
a
:
O sinal negativo em
é porque a curva está abaixo do eixo
.
Passo 8
Vamos calcular
primeiro:
Substituindo os limites:
Passo 9
Agora, vamos calcular
:
Calculando a antiderivada nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 10
Agora, somamos as duas áreas para obter a área total:
Resposta
A área da figura limitada pelas curvas
e o eixo
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
;
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curvas e
;
curvas
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.