Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva e o eixo ox;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcularmos a área da figura que está limitada pelas curvas dadas: a curva e o eixo (que é o eixo horizontal). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração definida, que nos ajuda a encontrar a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Podemos simplificar essa expressão multiplicando os termos:
Agora, precisamos encontrar os pontos onde essa curva cruza o eixo . Isso acontece quando .

Passo 3

Vamos resolver :
Isso nos dá três soluções:
Então, a curva cruza o eixo nos pontos , e .

Passo 4

Para encontrar a área entre a curva e o eixo , vamos integrar a função nos intervalos onde a curva está acima do eixo e onde está abaixo. A área total será a soma das áreas absolutas dessas regiões.
Primeiro, vamos verificar em quais intervalos a curva está acima ou abaixo do eixo .

Passo 5

Vamos escolher valores de em cada intervalo para ver se é positivo ou negativo:
  • Para entre 0 e 1, escolhemos :
  • Para entre 1 e 2, escolhemos :
Isso significa que:
  • De a , a curva está acima do eixo .
  • De a , a curva está abaixo do eixo .

Passo 6

Agora, vamos calcular a área nos dois intervalos separadamente. A fórmula para a área entre uma curva e o eixo de a é:
Mas como já sabemos onde a curva está acima ou abaixo, podemos remover o valor absoluto usando o sinal correto.

Passo 7

Calculando a área de a :
E a área de a :
O sinal negativo em é porque a curva está abaixo do eixo .

Passo 8

Vamos calcular primeiro:
Substituindo os limites:

Passo 9

Agora, vamos calcular :
Calculando a antiderivada nos limites:
Para :
Para :
Então:

Passo 10

Agora, somamos as duas áreas para obter a área total:

Resposta

A área da figura limitada pelas curvas e o eixo é unidades de área.

Exercícios relacionados

Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
;
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curvas e ;
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.