Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
integral 1e^x+1 d x, x=-ln u

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a substituição que foi indicada: . Isso significa que vamos trocar a variável por para facilitar o cálculo. Para isso, precisamos entender como converter em termos de e também reescrever a integral toda em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma expressão para dxdu = -1u em termos de dx = -1u , du . Sabemos que , então vamos derivar ambos os lados em relação a :
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos substituir integral 1e^x+1 , dx = integral 1e^-ln u+1 (-1u) , du e e^-ln u = 1u na integral original. A integral fica:
integral 11u + 1 (-1u) , du = integral 11 + uu (-1u) , du = integral u1 + u (-1u) , du
Simplificando integral u1 + u (-1u) , du = -integral 11 + u , du , lembramos que , então:
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos integrar -integral 11 + u , du = -ln|1 + u| + C . A integral de em relação a é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, vamos voltar à variável original -ln(1 + u) + C = -ln(1 + e^-x) + C . Lembrando que , substituímos:

Resposta

integral 1e^x+1 , dx = -ln(1 + e^-x) + C

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