Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral arcsin (raizx)raiz1-x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral arcsin (raizx)raiz1-x dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integração envolvendo funções trigonométricas inversas e substituições. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir t = raizx. Assim, x = t^2 e dx = 2t , dt. Agora, substituímos na integral:
integral arcsin (t)raiz1 - t^2 cdot 2t , dt

Passo 3

Observamos que raiz1 - t^2 aparece no denominador. Sabemos que a derivada de arcsin(t) é 1raiz1 - t^2, então isso sugere que podemos usar uma substituição adicional. Vamos definir u = arcsin(t), então du = 1raiz1 - t^2 dt.

Passo 4

Substituindo u na integral, temos:
2 integral u cdot t cdot du
No entanto, precisamos expressar t em termos de u. Como u = arcsin(t), então t = sin(u).

Passo 5

Agora, substituindo t = sin(u) na integral, ficamos com:
2 integral u cdot sin(u) cdot du
Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, onde escolhemos f = u e dg = sin(u) du.

Passo 6

Aplicando integração por partes:
f = u Rightarrow df = du dg = sin(u) du Rightarrow g = -cos(u)
A integral se torna:
- u cos(u) + integral cos(u) du
- u cos(u) + sin(u) + C

Passo 7

Voltando às substituições anteriores, lembramos que u = arcsin(t) e t = raizx. Então:
- arcsin(raizx) cos(arcsin(raizx)) + sin(arcsin(raizx)) + C
Simplificando:
- arcsin(raizx) raiz1 - x + raizx + C

Resposta

A integral é igual a - arcsin(raizx) raiz1 - x + raizx + C, onde C é a constante de integração.

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