Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral ln (ln x) d xx

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral . Para isso, vamos precisar usar o método da substituição, que é uma técnica de integração onde simplificamos a integral fazendo uma mudança de variável.

Passo 2

Observamos que no denominador temos e dentro do logaritmo temos . Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja .
Aqui, estamos definindo uma nova variável para substituir , o que facilitará a integração.

Passo 3

Agora, precisamos derivar dudx = 1x Rightarrow du = dxx em relação a para substituir . A derivada de é:
Isso significa que podemos substituir por na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral ln (ln x)x , dx = integral ln u , du
Agora, a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos resolver integral w , dv = wv - integral v , dw . Para isso, usamos a integração por partes, que é baseada na f��rmula:
w = ln u Rightarrow dw = 1u , du
Escolhemos:
dv = du Rightarrow v = u

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln u , du = u ln u - integral u cdot 1u , du = u ln u - integral 1 , du = u ln u - u + C
Simplificamos a integral e obtemos a expressão em termos de .

Resposta

Voltando à variável original ln x cdot ln (ln x) - ln x + C ( ), a integral resulta em:

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