Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curvas e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da figura formada pelas curvas e . Esse tipo de problema cai na área de cálculo integral, onde vamos usar integrais para encontrar a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que temos. A equação representa uma parábola que abre para a direita, enquanto é uma parábola que abre para cima.

Passo 3

Para saber os limites da área que vamos calcular, precisamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam. Vamos resolver o sistema de equações:

Passo 4

Vamos expressar uma das variáveis em termos da outra. A partir da segunda equação:
Agora, substituímos esse valor de na primeira equação:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:
Rearranjando os termos:

Passo 6

Resolvendo a equação :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 7

Agora que temos os limites de integração, vamos expressar as funções em termos de para facilitar. A partir das equações originais:
A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de a :

Passo 8

Vamos calcular a integral separadamente:
E para a segunda parte:

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de 0 a :
Calculando:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:

Passo 10

Subtraindo as duas partes:

Resposta

A área da figura limitada pelas curvas é .

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Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva e o eixo ox;
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
;
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo: