Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curvas
e
;
curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da figura formada pelas curvas
e
. Esse tipo de problema cai na área de cálculo integral, onde vamos usar integrais para encontrar a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que temos. A equação
representa uma parábola que abre para a direita, enquanto
é uma parábola que abre para cima.
Passo 3
Para saber os limites da área que vamos calcular, precisamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam. Vamos resolver o sistema de equações:
Passo 4
Vamos expressar uma das variáveis em termos da outra. A partir da segunda equação:
Agora, substituímos esse valor de
na primeira equação:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Rearranjando os termos:
Passo 6
Resolvendo a equação
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 7
Agora que temos os limites de integração, vamos expressar as funções em termos de
para facilitar. A partir das equações originais:
A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de
a
:
Passo 8
Vamos calcular a integral separadamente:
E para a segunda parte:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de 0 a
:
Calculando:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Passo 10
Subtraindo as duas partes:
Resposta
A área da figura limitada pelas curvas é
.
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Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva e o eixo ox;
curva
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
;
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo: