Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , retas e .

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é calcular a área da figura que está entre a curva , a reta e a reta . Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se relacionam. A curva é uma função que relaciona e . As retas e são linhas retas horizontais e verticais, respectivamente.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde a curva intercepta a reta . Substituindo na equação da curva:
Então, temos um ponto de interseção em .

Passo 4

Agora, vamos ver onde a curva intercepta a reta . Substituindo na equação da curva:
Então, o outro ponto de interseção é .

Passo 5

Com os pontos de interseção encontrados, sabemos que a área que queremos está entre e , e entre e .

Passo 6

Para calcular a área, podemos integrar a diferença entre as curvas que delimitam a região. Neste caso, a curva superior é (reta horizontal) e a inferior é (ou a curva , dependendo do intervalo).

Passo 7

No intervalo de a , a curva está à esquerda, então os limites de vão de até .

Passo 8

A fórmula para a área é dada por:
Porque para cada valor de entre 1 e 2, varia de até 8.

Passo 9

Vamos calcular a integral:

Resposta

A área da figura limitada pelas curvas é unidades de área.

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Calcule as integrais abaixo:
;
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
parábola e reta ;
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
;