Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , retas e .
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é calcular a área da figura que está entre a curva , a reta e a reta . Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se relacionam. A curva é uma função que relaciona e . As retas e são linhas retas horizontais e verticais, respectivamente.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde a curva intercepta a reta . Substituindo na equação da curva:
Então, temos um ponto de interseção em .
Passo 4
Agora, vamos ver onde a curva intercepta a reta . Substituindo na equação da curva:
Então, o outro ponto de interseção é .
Passo 5
Com os pontos de interseção encontrados, sabemos que a área que queremos está entre e , e entre e .
Passo 6
Para calcular a área, podemos integrar a diferença entre as curvas que delimitam a região. Neste caso, a curva superior é (reta horizontal) e a inferior é (ou a curva , dependendo do intervalo).
Passo 7
No intervalo de a , a curva está à esquerda, então os limites de vão de até .
Passo 8
A fórmula para a área é dada por:
Porque para cada valor de entre 1 e 2, varia de até 8.
Passo 9
Vamos calcular a integral:
Resposta
A área da figura limitada pelas curvas é unidades de área.