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Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas e a geometria de círculos. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é , que se assemelha à identidade trigonométrica . Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica onde . Assim, definimos:

Passo 3

Calculamos o diferencial de em termos de :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original . Sabemos que:
Também temos:

Passo 8

Substituindo e na expressão integrada:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

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Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
Calcule as integrais abaixo:
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , retas e .