integral raiza^2-x^2 d x;

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas e a geometria de círculos. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é x = a sintheta , que se assemelha à identidade trigonométrica . Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica onde . Assim, definimos:

Passo 3

Calculamos o diferencial de dx = a costheta , dtheta em termos de integral raiza^2 - x^2 , dx = integral raiza^2 - a^2sin^2theta cdot a costheta , dtheta :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiza^2 - a^2sin^2theta = raiza^2(1 - sin^2theta) = raiza^2cos^2theta = a costheta
Substituindo de volta na integral:
integral a costheta cdot a costheta , dtheta = a^2 integral cos^2theta , dtheta

Passo 5

Para integrar cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 , usamos a identidade trigonométrica:
a^2 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = a^22 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Integrando termo a termo:
a^22 ( integral 1 , dtheta + integral cos(2theta) , dtheta ) = a^22 ( theta + sin(2theta)2 ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original x = a sintheta implies sintheta = xa implies theta = arcsin(xa) . Sabemos que:
sin(2theta) = 2 sintheta costheta = 2 cdot xa cdot raiz1 - (xa)^2 = 2xa raiza^2 - x^2 cdot 1a = 2x raiza^2 - x^2a^2
Também temos:

Passo 8

Substituindo a^22 ( arcsin(xa) + 12 cdot 2x raiza^2 - x^2a^2 ) + C = a^22 arcsin(xa) + x raiza^2 - x^22 + C e na expressão integrada:

Resposta

A integral a^22 arcsin(xa) + x raiza^2 - x^22 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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