Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
parábola e reta ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre a parábola e a reta . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de integrais, que nos ajudam a encontrar áreas delimitadas por curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a parábola e a reta se encontram, ou seja, os pontos de interseção delas. Para isso, igualamos as duas expressões de :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as curvas se cruzam. Vamos reorganizar a equação:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando:
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Com os valores de e , sabemos que esses são os limites onde vamos calcular a área entre as curvas. Agora precisamos identificar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo para saber qual função subtract da outra na integral.

Passo 6

Vamos testar um valor de entre -3 e 1, digamos , para ver qual função está maior:
á
Como , a reta está acima da parábola nesse intervalo.

Passo 7

Agora, montamos a integral que representa a área entre as curvas:
Á
Vamos resolver essa integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Convertendo para fração:

Resposta

A área da figura limitada pelas curvas e �� unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , retas e .
Calcule as integrais abaixo:
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
;
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica: