Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
parábola
e reta
;
parábola
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre a parábola
e a reta
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de integrais, que nos ajudam a encontrar áreas delimitadas por curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a parábola e a reta se encontram, ou seja, os pontos de interseção delas. Para isso, igualamos as duas expressões de
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se cruzam. Vamos reorganizar a equação:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Com os valores de
e
, sabemos que esses são os limites onde vamos calcular a área entre as curvas. Agora precisamos identificar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo para saber qual função subtract da outra na integral.
Passo 6
Vamos testar um valor de
entre -3 e 1, digamos
, para ver qual função está maior:
Como
, a reta está acima da parábola nesse intervalo.
Passo 7
Agora, montamos a integral que representa a área entre as curvas:
Vamos resolver essa integral:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Convertendo para fração:
Resposta
A área da figura limitada pelas curvas
e
��
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , retas
e
.
curva
Calcule as integrais abaixo:
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
;
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica: