Então, o que a gente tem aqui é uma integral meio complicada:
Vamos precisar usar o método de frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complexas em somas de frações mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fração usando frações parciais. A expressão que temos no denominador é . Vamos então supor que podemos decompor a fração da seguinte maneira:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum , temos:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito para encontrar os valores de , , , e .
Passo 4
Expandindo cada termo:
Agora, somando todos os termos:
Agrupando termos semelhantes:
:
:
:
:
Termo constante:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
:
:
:
:
Termo constante:
Temos um sistema de cinco equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Substituindo , e na quarta equação:
Substituindo , e na quinta equação:
Passo 7
Agora que encontramos , vamos encontrar os demais valores:
Passo 8
Agora que temos todos os valores das constantes, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Podemos simplificar isso para:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para esse último termo, podemos usar substituição:
Deixe , então . Mas ajustando para o nosso termo:
E
Passo 10
Finalmente, somando todos os resultados:
Podemos simplificar um pouco mais combinando os termos semelhantes: