Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral meio complicada:
Vamos precisar usar o método de frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complexas em somas de frações mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração usando frações parciais. A expressão que temos no denominador é . Vamos então supor que podemos decompor a fração da seguinte maneira:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum , temos:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito para encontrar os valores de , , , e .

Passo 4

Expandindo cada termo:
Agora, somando todos os termos:
Agrupando termos semelhantes:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • Termo constante:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :
  5. Termo constante:
Temos um sistema de cinco equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:
  4. Substituindo , e na quarta equação:
  5. Substituindo , e na quinta equação:

Passo 7

Agora que encontramos , vamos encontrar os demais valores:

Passo 8

Agora que temos todos os valores das constantes, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Podemos simplificar isso para:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para esse último termo, podemos usar substituição:
Deixe , então . Mas ajustando para o nosso termo:
E

Passo 10

Finalmente, somando todos os resultados:
Podemos simplificar um pouco mais combinando os termos semelhantes:

Resposta

A integral avaliada é:
Onde é a constante de integração.

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