Calcule as integrais abaixo:
integral (2 x+4) d x(x-1)(x^2+1)^2

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral meio complicada:
integral (2x + 4) , dx(x - 1)(x^2 + 1)^2
Vamos precisar usar o método de frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complexas em somas de frações mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração usando frações parciais. A expressão que temos no denominador é (x - 1)(x^2 + 1)^2. Vamos então supor que podemos decompor a fração da seguinte maneira:
2x + 4(x - 1)(x^2 + 1)^2 = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + 1 + Dx + E(x^2 + 1)^2
Aqui, A, B, C, D e E são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 1)(x^2 + 1)^2, temos:
2x + 4 = A(x^2 + 1)^2 + (Bx + C)(x - 1)(x^2 + 1) + (Dx + E)(x - 1)
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito para encontrar os valores de A, B, C, D e E.

Passo 4

Expandindo cada termo:
  1. A(x^2 + 1)^2 = A(x^4 + 2x^2 + 1)
  2. (Bx + C)(x - 1)(x^2 + 1) = (Bx + C)(x^3 + x - x^2 - 1) = Bx^4 + Bx^2 - Bx^3 - Bx + Cx^3 + Cx - Cx^2 - C
  3. (Dx + E)(x - 1) = Dx^2 - Dx + Ex - E
Agora, somando todos os termos:
A x^4 + 2A x^2 + A + Bx^4 + Bx^2 - Bx^3 - Bx + Cx^3 + Cx - Cx^2 - C + Dx^2 - Dx + Ex - E
Agrupando termos semelhantes:
  • x^4: (A + B)x^4
  • x^3: (-B + C)x^3
  • x^2: (2A + B - C + D)x^2
  • x: (-B + C - D + E)x
  • Termo constante: (A - C - E)
Então, a equação fica:
2x + 4 = (A + B)x^4 + (-B + C)x^3 + (2A + B - C + D)x^2 + (-B + C - D + E)x + (A - C - E)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. x^4: A + B = 0
  2. x^3: -B + C = 0
  3. x^2: 2A + B - C + D = 0
  4. x: -B + C - D + E = 2
  5. Termo constante: A - C - E = 4
Temos um sistema de cinco equações:
A + B = 0 -B + C = 0 2A + B - C + D = 0 -B + C - D + E = 2 A - C - E = 4

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação: A = -B
  2. Da segunda equação: C = B
  3. Substituindo A = -B e C = B na terceira equação:
    2(-B) + B - B + D = 0 Rightarrow -2B + B - B + D = 0 Rightarrow -2B + D = 0 Rightarrow D = 2B
  4. Substituindo A = -B, C = B e D = 2B na quarta equação:
    -B + B - 2B + E = 2 Rightarrow -2B + E = 2 Rightarrow E = 2B + 2
  5. Substituindo A = -B, C = B e E = 2B + 2 na quinta equação:
    -B - B - (2B + 2) = 4 Rightarrow -4B - 2 = 4 Rightarrow -4B = 6 Rightarrow B = -32

Passo 7

Agora que encontramos B = -32, vamos encontrar os demais valores:
  1. A = -B = 32
  2. C = B = -32
  3. D = 2B = 2 times (-32) = -3
  4. E = 2B + 2 = 2 times (-32) + 2 = -3 + 2 = -1

Passo 8

Agora que temos todos os valores das constantes, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
2x + 4(x - 1)(x^2 + 1)^2 = 32x - 1 + -32x - 32x^2 + 1 + -3x - 1(x^2 + 1)^2
Podemos simplificar isso para:
32(x - 1) - 3(x + 1)2(x^2 + 1) - 3x + 1(x^2 + 1)^2

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral 32(x - 1) , dx = 32 ln|x - 1| + C1
  2. integral -3(x + 1)2(x^2 + 1) , dx = -34 ln|x^2 + 1| - 32 arctan(x) + C2
  3. integral -3x - 1(x^2 + 1)^2 , dx
Para esse último termo, podemos usar substituição:
Deixe u = x^2 + 1, então du = 2x , dx. Mas ajustando para o nosso termo:
integral -3x(x^2 + 1)^2 , dx = 32 1x^2 + 1 + C3
E
integral -1(x^2 + 1)^2 , dx = -1x^2 + 1 + x(x^2 + 1) + C4

Passo 10

Finalmente, somando todos os resultados:
32 ln|x - 1| - 34 ln|x^2 + 1| - 32 arctan(x) + 32 cdot 1x^2 + 1 - 1x^2 + 1 + xx^2 + 1 + C
Podemos simplificar um pouco mais combinando os termos semelhantes:
32 ln|x - 1| - 34 ln(x^2 + 1) - 32 arctan(x) + 2x^2 + 1 + xx^2 + 1 + C

Resposta

A integral avaliada é:
32 ln|x - 1| - 34 ln(x^2 + 1) - 32 arctan(x) + 2 + xx^2 + 1 + C
Onde C é a constante de integração.

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