Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
integral d xraize^x-1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de substituição para facilitar a resolução de integrais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que torne a parte dentro da raiz mais simples. Observamos que u = e^x - 1 está presente, então uma boa ideia é deixar como base da substituição.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx(e^x - 1) , dx = e^x , dx em termos de dx = due^x :
e^x = u + 1
Isso nos dá:
dx = duu + 1
Mas como , podemos reescrever em termos de :
Então:

Passo 4

Substituindo integral dxraize^x - 1 = integral duu + 1raizu = integral du(u + 1)raizu e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral. Podemos reescrever integral du(u + 1)u^1/2 = integral duu^1/2(u + 1) como e como :
Para resolver essa integral, podemos usar uma fração parcial ou uma substituição adicional, mas uma substituição mais direta facilitará.

Passo 6

Vamos fazer uma nova substituição para simplificar ainda mais a integral. Definimos:
t = raizu
Então:
u = t^2
du = 2t , dt

Passo 7

Substituindo integral 2t , dtt(t^2 + 1) = 2 integral dtt^2 + 1 e na integral:

Passo 8

Agora, reconhecemos que 2 arctan(t) + C é a integral padrão que resulta em :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando às substituições que fizemos:
t = raizu = raize^x - 1
Então, a solução final é:
2 arctan(raize^x - 1) + C

Resposta

A integral 2 arctan(raize^x - 1) + C é igual a:

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