Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de substituição para facilitar a resolução de integrais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que torne a parte dentro da raiz mais simples. Observamos que está presente, então uma boa ideia é deixar como base da substituição.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de :
Isso nos dá:
Mas como , podemos reescrever em termos de :
Então:

Passo 4

Substituindo e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral. Podemos reescrever como e como :
Para resolver essa integral, podemos usar uma fração parcial ou uma substituição adicional, mas uma substituição mais direta facilitará.

Passo 6

Vamos fazer uma nova substituição para simplificar ainda mais a integral. Definimos:
Então:

Passo 7

Substituindo e na integral:

Passo 8

Agora, reconhecemos que é a integral padrão que resulta em :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando às substituições que fizemos:
Então, a solução final é:

Resposta

A integral é igual a:

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