Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de substituição para facilitar a resolução de integrais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição que torne a parte dentro da raiz mais simples. Observamos que
está presente, então uma boa ideia é deixar
como base da substituição.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
:
Isso nos dá:
Mas como
, podemos reescrever
em termos de
:
Então:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral. Podemos reescrever
como
e
como
:
Para resolver essa integral, podemos usar uma fração parcial ou uma substituição adicional, mas uma substituição mais direta facilitará.
Passo 6
Vamos fazer uma nova substituição para simplificar ainda mais a integral. Definimos:
Então:
Passo 7
Substituindo
e
na integral:
Passo 8
Agora, reconhecemos que
é a integral padrão que resulta em
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Voltando às substituições que fizemos:
Então, a solução final é:
Resposta
A integral
é igual a:
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Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
parábola e reta
;
parábola
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , retas
e
.
curva
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo: