Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
integral 1+x1+raizx d x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: temos que calcular a integral . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que faz parte do conteúdo de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser simplificada com uma substituição. Observamos que o termo está no denominador, o que pode complicar a integração direta. Então, vamos definir uma nova variável para facilitar.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = raizx
Com isso, temos:
x = u^2
Agora, precisamos encontrar dx = 2u , du em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir integral 1+x1+raizx , dx = integral 1 + u^21 + u cdot 2u , du e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Primeiro, multiplicamos os termos:
2u cdot 1 + u^21 + u = 2u cdot ( 1 + u^21 + u )
Para simplificar 1 + u^2 = (1 + u)(u - 1) + 2 , podemos dividir 1 + u^21 + u = u - 1 + 21 + u por :
Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos:
2u ( u - 1 + 21 + u ) = 2u(u - 1) + 4u cdot 11 + u

Passo 7

Agora, separamos as integrais:
2 integral u(u - 1) , du + 4 integral u1 + u , du
Vamos simplificar cada uma:
Primeira integral:
2 integral (u^2 - u) , du
Segunda integral:
Podemos reescrever 4 integral (1 - 11 + u) , du = 4 integral 1 , du - 4 integral 11 + u , du como :

Passo 8

Calculando cada parte:
Primeira integral:
2 ( u^33 - u^22 )
Segunda integral:
4u - 4 ln|1 + u|

Passo 9

Agora, juntamos tudo e substituímos 2 ( (raizx)^33 - (raizx)^22 ) + 4raizx - 4 ln(1 + raizx) + C :
2x^3/23 - x + 4raizx - 4 ln(1 + raizx) + C
Simplificando os termos:

Resposta

A integral 2x^3/23 - x + 4raizx - 4 ln(1 + raizx) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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