Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: temos que calcular a integral . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que faz parte do conteúdo de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser simplificada com uma substituição. Observamos que o termo está no denominador, o que pode complicar a integração direta. Então, vamos definir uma nova variável para facilitar.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
Com isso, temos:
Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Primeiro, multiplicamos os termos:
Para simplificar , podemos dividir por :
Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos:

Passo 7

Agora, separamos as integrais:
Vamos simplificar cada uma:
Primeira integral:
Segunda integral:
Podemos reescrever como :

Passo 8

Calculando cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 9

Agora, juntamos tudo e substituímos :
Simplificando os termos:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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curvas e ;
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;