Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede: temos que calcular a integral
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que faz parte do conteúdo de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser simplificada com uma substituição. Observamos que o termo
está no denominador, o que pode complicar a integração direta. Então, vamos definir uma nova variável para facilitar.
Passo 3
Vamos fazer a seguinte substituição:
Com isso, temos:
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Primeiro, multiplicamos os termos:
Para simplificar
, podemos dividir
por
:
Portanto:
Passo 6
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 7
Agora, separamos as integrais:
Vamos simplificar cada uma:
Primeira integral:
Segunda integral:
Podemos reescrever
como
:
Passo 8
Calculando cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 9
Agora, juntamos tudo e substituímos
:
Simplificando os termos:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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curvas e
;
curvas
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;