Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
hipérbole e reta ;
Passo 1
Vamos calcular a área da região limitada pela hipérbole e a reta vertical . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a forma da hipérbole dada pela equação . Essa é uma hipérbole que abre para a direita e para a esquerda no plano cartesiano.
Passo 3
Queremos encontrar os pontos de interseção entre a hipérbole e a reta . Substituindo na equação da hipérbole:
Passo 4
Resolvendo para :
Portanto, os pontos de interseção são e .
Passo 5
Como a hipérbole é simétrica em relação ao eixo , podemos calcular a área na parte superior e multiplicar por 2 para obter a área total.
Passo 6
Rescrevemos a equação da hipérbole para em função de :
Passo 7
A área entre (vértice da hipérbole) e na parte superior é dada pela integral:
Passo 8
Simplificamos a integral substituindo , então e . Os limites de integração se tornam de a .
Passo 9
Resolvemos a integral , que é uma forma padrão. A antiderivada é: