Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
hipérbole x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 e reta x = 2a;

Passo 1

Vamos calcular a área da região limitada pela hipérbole e a reta vertical . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a forma da hipérbole dada pela equação . Essa é uma hipérbole que abre para a direita e para a esquerda no plano cartesiano.

Passo 3

Queremos encontrar os pontos de interseção entre a hipérbole e a reta . Substituindo na equação da hipérbole:

Passo 4

Resolvendo para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Como a hipérbole é simétrica em relação ao eixo , podemos calcular a área na parte superior e multiplicar por 2 para obter a área total.

Passo 6

Rescrevemos a equação da hipérbole para em função de :

Passo 7

A área entre (vértice da hipérbole) e na parte superior é dada pela integral:

Passo 8

Simplificamos a integral substituindo , então e . Os limites de integração se tornam de a .

Passo 9

Resolvemos a integral , que é uma forma padrão. A antiderivada é:

Passo 10

Aplicando os limites de a :
Como e , simplificamos:

Resposta

A área da figura limitada pelas curvas é:

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