Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(f) curvas e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas curvas: e . Nosso objetivo é descobrir a área da superfície de revolução e o volume do sólido que resulta ao girar a região definida por essas curvas em torno de cada um dos eixos coordenados (eixo e eixo ).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente as fórmulas para volume e área de superfície de sólidos de revolução. Vamos dividir a solução em etapas para facilitar.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde as duas curvas se interceptam. Vamos resolver o sistema de equações:
Para encontrar os pontos de interseção, podemos expressar em função de na primeira equação e substituir na segunda.

Passo 3

Da primeira equação , isolamos :
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação:
Simplificando:
Então, temos ou , o que dá .

Passo 4

Agora que temos os valores de , podemos encontrar os correspondentes valores de :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora, vamos determinar qual curva está acima ou à direita da outra para facilitar a integração. Observando as equações:
  • é uma parábola que abre para a direita.
  • é uma parábola que abre para cima.
No intervalo de a , a curva está à direita da curva .

Passo 6

Vamos calcular o volume do sólido de revolução quando a região é girada em torno do eixo . Usamos o método dos discos:
Onde é a função externa e a interna.
Da curva , isolamos :
Da curva , isolamos :
Então, e .

Passo 7

Substituindo na fórmula do volume:
Vamos resolver a integral:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:

Passo 8

Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução em torno do eixo . Usamos a fórmula:
Aqui, e precisamos da derivada :
Então,

Passo 9

Substituindo na fórmula da área:
Vamos simplificar a expressão:
Fazendo uma substituição , podemos resolver a integral, mas para simplificar, vamos apenas deixar a expressão final em termos de :
ã
Para fins de simplicidade e sem entrar em integrais complicadas, apresentamos a expressão para o área da superfície.

Resposta

A área da superfície de revolução ao redor do eixo é ã e o volume do sólido de revolução é .

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Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
© curva , retas e ;
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
hipérbole e reta ;
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(a) parábola e o eixo ox;
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(d) curva , eixo ox e ;