Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(f) curvas
e
;
(f) curvas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas curvas:
e
. Nosso objetivo é descobrir a área da superfície de revolução e o volume do sólido que resulta ao girar a região definida por essas curvas em torno de cada um dos eixos coordenados (eixo
e eixo
).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente as fórmulas para volume e área de superfície de sólidos de revolução. Vamos dividir a solução em etapas para facilitar.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde as duas curvas se interceptam. Vamos resolver o sistema de equações:
Para encontrar os pontos de interseção, podemos expressar
em função de
na primeira equação e substituir na segunda.
Passo 3
Da primeira equação
, isolamos
:
Agora, substituímos esse valor de
na segunda equação:
Simplificando:
Então, temos
ou
, o que dá
.
Passo 4
Agora que temos os valores de
, podemos encontrar os correspondentes valores de
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar qual curva está acima ou à direita da outra para facilitar a integração. Observando as equações:
-
é uma parábola que abre para a direita. -
é uma parábola que abre para cima.
No intervalo de
a
, a curva
está à direita da curva
.
Passo 6
Vamos calcular o volume do sólido de revolução quando a região é girada em torno do eixo
. Usamos o método dos discos:
Onde
é a função externa e
a interna.
Da curva
, isolamos
:
Da curva
, isolamos
:
Então,
e
.
Passo 7
Substituindo na fórmula do volume:
Vamos resolver a integral:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
Passo 8
Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução em torno do eixo
. Usamos a fórmula:
Aqui,
e precisamos da derivada
:
Então,
Passo 9
Substituindo na fórmula da área:
Vamos simplificar a expressão:
Fazendo uma substituição
, podemos resolver a integral, mas para simplificar, vamos apenas deixar a expressão final em termos de
:
Para fins de simplicidade e sem entrar em integrais complicadas, apresentamos a expressão para o área da superfície.
Resposta
A área da superfície de revolução ao redor do eixo
é
e o volume do sólido de revolução é
.
Exercícios relacionados
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
© curva , retas
e
;
© curva
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
hipérbole e reta
;
hipérbole
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(a) parábola e o eixo ox;
(a) parábola
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(d) curva , eixo ox e
;
(d) curva