(a) decompondo as frações nos itens e numa soma de frações;
(b) usando a substituição ou (usar a fato de que ) no item ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer duas coisas: primeiro, decompor umas frações em uma soma de frações mais simples (isso é chamado de frações parciais), e depois usar uma substituição trigonométrica ou hiperbólica para simplificar a expressão. Para isso, vamos precisar saber como decompor frações e entender um pouco sobre funções hiperbólicas como o cosseno hiperbólico ( ) e o seno hiperbólico ( ). Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre decomposição em frações parciais. Isso é útil quando temos uma fração mais complicada e queremos escrevê-la como a soma de frações mais simples. Por exemplo, se tivermos uma fração como , onde pode ser fatorada, podemos escrever isso como uma soma de frações com denominadores mais simples.
Vamos supor que temos as frações dos itens e que precisamos decompor. Embora você não tenha fornecido as frações exatas, vamos considerar um exemplo genérico:
Suponha que temos:
Queremos decompor essa fração em frações mais simples. A forma geral seria:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação. Vamos começar com :
Agora, escolhemos :

Passo 4

Então, a decomposição em frações parciais fica:
Podemos simplificar isso para:
Isso facilita muito caso queiramos integrar essa expressão ou resolver equações envolvendo essa fração.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte do exercício, que envolve uma substituição. O enunciado sugere usar uma substituição hiperbólica, como ou , e também menciona que . Além disso, temos a expressão , que é uma substituição trigonométrica.
Vamos entender o que isso significa. Funções hiperbólicas, como o cosseno hiperbólico ( ) e o seno hiperbólico ( ), são parecidas com as funções trigonométricas, mas estão relacionadas à hipérbole em vez do círculo. A identidade dada, , é uma identidade fundamental das funções hiperbólicas, semelhante à identidade trigonométrica .

Passo 6

Vamos aplicar a substituição . Essa substituição é útil quando temos expressões envolvendo que se beneficiam das identidades trigonométricas. Por exemplo, se temos uma expressão como , usando , podemos simplificar essa raiz.
Vamos supor que precisamos integrar uma função que inclua . Com , temos:
Assumindo que está no intervalo onde é positivo, podemos escrever:
Isso simplifica a integral ou a expressão que estamos resolvendo.

Passo 7

Voltando à nossa decomposição em frações, se precisarmos integrar algo como:
Podemos integrar cada termo separadamente:
onde é a constante de integração.

Resposta

Seguindo os passos acima, a decomposição das frações é:
E, após aplicar a substituição , a integral correspondente fica:
onde é a constante de integração.

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hipérbole e reta ;