(a) decompondo as frações nos itens
e
numa soma de frações;
(b) usando a substituição
ou
(usar a fato de que
) no item
;
(b) usando a substituição
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer duas coisas: primeiro, decompor umas frações em uma soma de frações mais simples (isso é chamado de frações parciais), e depois usar uma substituição trigonométrica ou hiperbólica para simplificar a expressão. Para isso, vamos precisar saber como decompor frações e entender um pouco sobre funções hiperbólicas como o cosseno hiperbólico (
) e o seno hiperbólico (
). Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre decomposição em frações parciais. Isso é útil quando temos uma fração mais complicada e queremos escrevê-la como a soma de frações mais simples. Por exemplo, se tivermos uma fração como
, onde
pode ser fatorada, podemos escrever isso como uma soma de frações com denominadores mais simples.
Vamos supor que temos as frações dos itens
e
que precisamos decompor. Embora você não tenha fornecido as frações exatas, vamos considerar um exemplo genérico:
Suponha que temos:
Queremos decompor essa fração em frações mais simples. A forma geral seria:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos escolher valores de
que simplificam a equação. Vamos começar com
:
Agora, escolhemos
:
Passo 4
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Podemos simplificar isso para:
Isso facilita muito caso queiramos integrar essa expressão ou resolver equações envolvendo essa fração.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte do exercício, que envolve uma substituição. O enunciado sugere usar uma substituição hiperbólica, como
ou
, e também menciona que
. Além disso, temos a expressão
, que é uma substituição trigonométrica.
Vamos entender o que isso significa. Funções hiperbólicas, como o cosseno hiperbólico (
) e o seno hiperbólico (
), são parecidas com as funções trigonométricas, mas estão relacionadas à hipérbole em vez do círculo. A identidade dada,
, é uma identidade fundamental das funções hiperbólicas, semelhante à identidade trigonométrica
.
Passo 6
Vamos aplicar a substituição
. Essa substituição é útil quando temos expressões envolvendo
que se beneficiam das identidades trigonométricas. Por exemplo, se temos uma expressão como
, usando
, podemos simplificar essa raiz.
Vamos supor que precisamos integrar uma função que inclua
. Com
, temos:
Assumindo que
está no intervalo onde
é positivo, podemos escrever:
Isso simplifica a integral ou a expressão que estamos resolvendo.
Passo 7
Voltando à nossa decomposição em frações, se precisarmos integrar algo como:
Podemos integrar cada termo separadamente:
onde
é a constante de integração.
Resposta
Seguindo os passos acima, a decomposição das frações é:
E, após aplicar a substituição
, a integral correspondente fica:
onde
é a constante de integração.
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