Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
© curva , retas e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície de revolução e o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pela curva , pelas retas e é girada em torno de cada um dos eixos coordenados (x e y). Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente técnicas de integração para encontrar áreas e volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. A curva é uma função que relaciona e . As retas e vão delimitar essa região. Vamos esboçar rapidamente para visualizar melhor:
  • A curva passa pelo ponto (1,1), já que .
  • A reta é uma linha horizontal que corta a curva.
  • A reta é uma linha vertical que também limita a região.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para isso, precisamos saber os valores de que a função assume entre as retas e .
Sabemos que . Quando , temos , ou seja, .
Então, nossa região vai de até .

Passo 4

Vamos calcular o volume do sólido de revolução quando giramos essa região em torno do eixo y. Para isso, podemos utilizar o método dos discos ou anéis. No caso do eixo y, expressamos em função de :
O volume é dado pela integral:
Onde e .

Passo 5

Substituindo na fórmula, temos:
Integrando:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução quando giramos a mesma região em torno do eixo y. A fórmula para a área é:
Onde novamente , e .

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar :
Agora, substituindo na fórmula da área:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos deixar aqui a expressão da integral para cálculo numérico, pois a integral não possui uma antiderivada elementar fácil de expressar.

Resposta

  • Volume do sólido de revolução em torno do eixo y:
  • Área da superfície de revolução em torno do eixo y: (solução numérica necessária)

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(f) curvas e ;
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(a) parábola e o eixo ox;