Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
© curva
, retas
e
;
© curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície de revolução e o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pela curva
, pelas retas
e
é girada em torno de cada um dos eixos coordenados (x e y). Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente técnicas de integração para encontrar áreas e volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. A curva
é uma função que relaciona
e
. As retas
e
vão delimitar essa região. Vamos esboçar rapidamente para visualizar melhor:
- A curva
passa pelo ponto (1,1), já que . - A reta
é uma linha horizontal que corta a curva. - A reta
é uma linha vertical que também limita a região.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Para isso, precisamos saber os valores de
que a função assume entre as retas
e
.
Sabemos que
. Quando
, temos
, ou seja,
.
Então, nossa região vai de
até
.
Passo 4
Vamos calcular o volume do sólido de revolução quando giramos essa região em torno do eixo y. Para isso, podemos utilizar o método dos discos ou anéis. No caso do eixo y, expressamos
em função de
:
O volume
é dado pela integral:
Onde
e
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula, temos:
Integrando:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução quando giramos a mesma região em torno do eixo y. A fórmula para a área
é:
Onde novamente
,
e
.
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar
:
Agora, substituindo na fórmula da área:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos deixar aqui a expressão da integral para cálculo numérico, pois a integral não possui uma antiderivada elementar fácil de expressar.
Resposta
-
Volume do sólido de revolução em torno do eixo y:
-
Área da superfície de revolução em torno do eixo y:
(solução numérica necessária)
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Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
hipérbole e reta
;
hipérbole
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , eixo ox e
;
curva
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(f) curvas e
;
(f) curvas
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(a) parábola e o eixo ox;
(a) parábola