Calcule a área entre o gráfico da função dada e o eixo x :
(f) y = x^3 - x^2 - 2x, -1 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área entre o gráfico da função e o eixo , no intervalo de que vai de até . Para isso, vamos usar o conceito de integral definida, que é uma ferramenta matemática para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função cruza o eixo , ou seja, onde . Isso é importante porque a área entre a curva e o eixo pode mudar de sinal nesses pontos.
Então, resolvemos a equação:
Podemos fatorar:
Agora, resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e . Ou seja, os pontos onde a função cruza o eixo são , e .

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo em subintervalos onde a função mantém o mesmo sinal. Observando as raízes, temos três subintervalos:
  1. De a
  2. De a
Vamos verificar o sinal de em cada subintervalo:
  • Para , escolha :
  • Para , escolha :
Isso significa que a função está acima do eixo no intervalo e abaixo no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para calcular a área. A área é dada pela integral do valor absoluto de em cada subintervalo:
Á
Como já sabemos os sinais, podemos simplificar usando direto no primeiro intervalo e no segundo, já que é negativa lá:
Á

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Integrando termo a termo:
Avaliar em 0:
Avaliar em :
Diferença:
Segunda integral:
Integrando termo a termo:
Avaliar em 2:
Avaliar em 0:
Diferença:

Passo 6

Agora, somamos as duas áreas calculadas:
Á
Para somar as frações, precisamos de denominadores iguais. O denominador comum é 12:
Então:

Resposta

A área entre o gráfico da função e o eixo no intervalo de a é unidades de área.

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Calcule as integrais definidas:
(s) integral-1^1(x^2-1)^3 x d x
Calcule:
(d) integral(x+4)(2 x+1) d x
Calcule a área da região entre as curvas:
© x = y^2 e x + 2y^2 = 3
Verifique, por derivação, que a fórmula está correta:
(e) integral 2 x^2+x^2 raizx-1x^2 d x=2 x+23 x^3 / 2+1x+C