Calcule a área entre o gráfico da função dada e o eixo :
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área entre o gráfico da função e o eixo , no intervalo de que vai de até . Para isso, vamos usar o conceito de integral definida, que é uma ferramenta matemática para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função cruza o eixo , ou seja, onde . Isso é importante porque a área entre a curva e o eixo pode mudar de sinal nesses pontos.
Então, resolvemos a equação:
Podemos fatorar:
Agora, resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e . Ou seja, os pontos onde a função cruza o eixo são , e .
Passo 3
Agora, vamos dividir o intervalo em subintervalos onde a função mantém o mesmo sinal. Observando as raízes, temos três subintervalos:
De a
De a
Vamos verificar o sinal de em cada subintervalo:
Para , escolha :
Para , escolha :
Isso significa que a função está acima do eixo no intervalo e abaixo no intervalo .
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para calcular a área. A área é dada pela integral do valor absoluto de em cada subintervalo:
Como já sabemos os sinais, podemos simplificar usando direto no primeiro intervalo e no segundo, já que é negativa lá:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Integrando termo a termo:
Avaliar em 0:
Avaliar em :
Diferença:
Segunda integral:
Integrando termo a termo:
Avaliar em 2:
Avaliar em 0:
Diferença:
Passo 6
Agora, somamos as duas áreas calculadas:
Á
Para somar as frações, precisamos de denominadores iguais. O denominador comum é 12:
Então:
Resposta
A área entre o gráfico da função e o eixo no intervalo de a é unidades de área.