Calcule as integrais definidas:
(s) integral-1^1(x^2-1)^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve polinômios. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de simetria de funções e técnicas de integração, como a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a simetria da função dentro da integral. Uma função f(-x) = ((-x)^2-1)^3 cdot (-x) = (x^2-1)^3 cdot (-x) = -(x^2-1)^3 x = -f(x) é:
  • Par se
  • Ímpar se
Vamos verificar se a nossa função é par ou ímpar.
Calculando :
Então, a função é ímpar.

Passo 3

Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Matematicamente:
integral-a^a f(x) , dx = 0 se f(x) for ímpar í
No nosso caso, , e a função é ímpar, então a integral será zero.

Resposta

integral-1^1(x^2-1)^3 x , dx = 0

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