Verifique, por derivação, que a fórmula está correta:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar, usando derivação, se a fórmula da integral está correta. A matéria que estamos usando aqui é cálculo, mais especificamente o cálculo de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para verificar se a integral está correta, a gente pode derivar o resultado dado e ver se bate com o integrando original. Então, vamos derivar a expressão do lado direito:
Passo 3
Vamos derivar cada termo separadamente. A derivada de
é simples:
Passo 4
Agora, vamos para o termo
. Lembrando que a derivada de
é
, aplicamos isso aqui:
Passo 5
O próximo termo é
. Podemos reescrever isso como
para facilitar a derivação:
Passo 6
A constante
é importante porque representa uma constante de integração, mas sua derivada é zero:
Passo 7
Agora, juntando todas as derivadas que calculamos:
Passo 8
Vamos comparar isso com o integrando original:
Resposta
Como as duas expressões são iguais, verificamos que a fórmula da integral está correta:
Exercícios relacionados
Calcule a área da região entre as curvas:
© e
©
Calcule a área entre o gráfico da função dada e o eixo
:
(f)
(f)
Calcule, usando o método da substituição:
(s)
(s)
Calcule as integrais:
(e)
(e)