Verifique, por derivação, que a fórmula está correta:
(e) integral 2 x^2+x^2 raizx-1x^2 d x=2 x+23 x^3 / 2+1x+C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar, usando derivação, se a fórmula da integral está correta. A matéria que estamos usando aqui é cálculo, mais especificamente o cálculo de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para verificar se a integral está correta, a gente pode derivar o resultado dado e ver se bate com o integrando original. Então, vamos derivar a expressão do lado direito:
2x + 23x^3/2 + 1x + C

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente. A derivada de ddx(2x) = 2 é simples:

Passo 4

Agora, vamos para o termo ddx(23x^3/2) = 23 times 32 x^1/2 = x^1/2 = raizx . Lembrando que a derivada de é , aplicamos isso aqui:

Passo 5

O próximo termo é ddx(1x) = ddx(x^-1) = -x^-2 = -1x^2 . Podemos reescrever isso como para facilitar a derivação:

Passo 6

A constante ddx(C) = 0 é importante porque representa uma constante de integração, mas sua derivada é zero:

Passo 7

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos:
2 + raizx - 1x^2

Passo 8

Vamos comparar isso com o integrando original:
2x^2 + x^2 raizx -1x^2 = 2x^2x^2 + x^2 raizxx^2 - 1x^2 = 2 + raizx - 1x^2

Resposta

Como as duas expressões são iguais, verificamos que a fórmula da integral está correta:
integral 2x^2 + x^2 raizx -1x^2 dx = 2x + 23x^3/2 + 1x + C

Exercícios relacionados

Calcule a área da região entre as curvas:
© x = y^2 e x + 2y^2 = 3
Calcule a área entre o gráfico da função dada e o eixo x :
(f) y = x^3 - x^2 - 2x, -1 <= x <= 2
Calcule, usando o método da substituição:
(s) integral x^31+x^4 d x
Calcule as integrais:
(e) integral x tg x^2 d x