Calcule a área da região entre as curvas:
©
e
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área entre as curvas
e
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente da determinação de áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas e configurar uma integral que represente a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se intersectam. Para isso, a gente iguala as duas equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Então,
e
. Esses são os pontos onde as curvas se cruzam.
Passo 3
Agora que sabemos os valores de
onde ocorre a interseção, vamos expressar
em termos de
para facilitar a integração. Já temos
para a primeira curva. Para a segunda curva, isolamos
:
Então, as duas funções em termos de
são:
Passo 4
A área entre duas curvas em relação a
pode ser calculada pela integral da diferença entre as funções
e
no intervalo de
que encontramos. A fórmula é:
Onde
e
são os limites de integração.
Passo 5
Vamos agora calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Vamos avaliar de
a
:
Resposta
A área da região entre as curvas
e
é igual a 4 unidades de área.