Calcule a área da região entre as curvas:
© x = y^2 e x + 2y^2 = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área entre as curvas e . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente da determinação de áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas e configurar uma integral que represente a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se intersectam. Para isso, a gente iguala as duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Então, e . Esses são os pontos onde as curvas se cruzam.

Passo 3

Agora que sabemos os valores de onde ocorre a interseção, vamos expressar em termos de para facilitar a integração. Já temos para a primeira curva. Para a segunda curva, isolamos :
Então, as duas funções em termos de são:

Passo 4

A área entre duas curvas em relação a pode ser calculada pela integral da diferença entre as funções e no intervalo de que encontramos. A fórmula é:
Á
Onde e são os limites de integração.

Passo 5

Vamos agora calcular a integral:
Á
Integrando termo a termo:
Vamos avaliar de a :

Resposta

A área da região entre as curvas e é igual a 4 unidades de área.

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