Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que
. Isso faz parte do conteúdo de números complexos e das séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar conhecer as expansões em séries de
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para
. A série de
para um número complexo
é dada por:
Substituindo
por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as potências de
:
Substituindo essas potências na série, temos:
Passo 4
Vamos separar os termos reais dos termos imaginários:
Termos Reais:
Termos Imaginários:
Passo 5
Reconhecemos que as séries dos termos reais e imaginários são, respectivamente, as séries de Taylor para
e
:
Resposta
Assim, juntando as partes reais e imaginárias, mostramos que:
Exercícios relacionados
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
Calcule as integrais definidas abaixo:
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e