Mostre que e^(i x) = cos(x) + i sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que . Isso faz parte do conteúdo de números complexos e das séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar conhecer as expansões em séries de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para . A série de para um número complexo é dada por:
Substituindo por , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as potências de :
Substituindo essas potências na série, temos:

Passo 4

Vamos separar os termos reais dos termos imaginários:
Termos Reais:
Termos Imaginários:

Passo 5

Reconhecemos que as séries dos termos reais e imaginários são, respectivamente, as séries de Taylor para e :

Resposta

Assim, juntando as partes reais e imaginárias, mostramos que:

Exercícios relacionados