Mostre que e^(i x) = cos(x) + i sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que . Isso faz parte do conteúdo de números complexos e das séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar conhecer as expansões em séries de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para . A série de para um número complexo é dada por:
Substituindo por , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as potências de :
Substituindo essas potências na série, temos:

Passo 4

Vamos separar os termos reais dos termos imaginários:
Termos Reais:
Termos Imaginários:

Passo 5

Reconhecemos que as séries dos termos reais e imaginários são, respectivamente, as séries de Taylor para e :

Resposta

Assim, juntando as partes reais e imaginárias, mostramos que:

Exercícios relacionados

Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
f(x) = x^3 e g(x) = x
Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
(k) integral sen^4 x cos x d x
Calcule as integrais definidas abaixo:
(f) integral1^5 raiz2 x-1 d x
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
y = 5 - x^2 e y = x + 3