Calcule as integrais definidas abaixo:
(f) integral1^5 raiz2 x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida . Isso está relacionado a integrais definidas e ao uso de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar uma substituição simples para tornar a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a raiz quadrada. Vamos definir . Isso vai nos ajudar a transformar a integral em algo mais manejável.

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 2 , dx Rightarrow dx = du2 em relação a para encontrar . Derivando, temos:
Isso nos permite substituir na integral original.

Passo 4

Também precisamos ajustar os limites de integração para u = 2(1) - 1 = 1 . Quando u = 2(5) - 1 = 9 :
E quando :
Então, nossa integral agora vai de até .

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral1^5 raiz2x - 1 , dx = integral1^9 raizu cdot du2 = 12 integral1^9 u^1/2 , du
Isso simplifica a integral para algo que podemos resolver facilmente.

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2 :
12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 13 [ u^3/2 ]1^9 = 13 (9^3/2 - 1^3/2) a 9^3/2 = ( raiz9 )^3 = 3^3 = 27 e 1^3/2 = 1 :
13 (27 - 1) = 13 times 26 = 263
Calculando os valores:
Então:

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados

Mostre que e^(i x) = cos(x) + i sen(x).
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
f(x) = x^3 e g(x) = x
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
y = 5 - x^2 e y = x + 3
Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
(m) integral d x16+x^2 d x