Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida
. Isso está relacionado a integrais definidas e ao uso de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar uma substituição simples para tornar a integral mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a raiz quadrada. Vamos definir
. Isso vai nos ajudar a transformar a integral em algo mais manejável.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Derivando, temos:
Isso nos permite substituir
na integral original.
Passo 4
Também precisamos ajustar os limites de integração para
. Quando
:
E quando
:
Então, nossa integral agora vai de
até
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Isso simplifica a integral para algo que podemos resolver facilmente.
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A integral definida
é igual a
.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição: