Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área que fica entre os gráficos das funções
e
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, onde usamos integrais para encontrar áreas delimitadas por curvas. Vamos precisar identificar onde essas duas funções se encontram e depois calcular a integral entre esses pontos para achar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se cruzam. Para isso, igualamos as duas expressões de
:
Isso nos ajudará a saber os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Vamos resolver a equação
:
Multiplicando toda a equação por -1 para facilitar:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções dessa equação quadrática:
Onde
,
e
.
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos identificar qual das funções está acima da outra no intervalo entre
e
. Escolhemos um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença entre as funções no intervalo de
a
:
Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
A área entre os gráficos das funções
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas abaixo:
Mostre que
.
Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
Calcule as integrais definidas abaixo: