Calcule as integrais definidas abaixo:
(l) integral0^42 sen^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar o .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os limites de integração. integral0^2 sin^2 x , dx é igual a 2, então a integral fica:

Passo 3

Agora, para integrar sin^2 x = 1 - cos(2x)2 , usamos a identidade trigonométrica de potência dupla:
Isso nos ajuda a simplificar a integração.

Passo 4

Substituindo a identidade na integral, temos:
integral0^2 sin^2 x , dx = integral0^2 1 - cos(2x)2 , dx = 12 integral0^2 (1 - cos(2x)) , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 integral0^2 1 , dx - 12 integral0^2 cos(2x) , dx
A integral de 1 em relação a x é simplesmente x, e a integral de é .

Passo 6

Calculando as integrais:
12 [x]0^2 - 12 [ sin(2x)2 ]0^2 = 12 (2 - 0) - 14 (sin(4) - sin(0))
Sabemos que 12 times 2 - 14 sin(4) = 1 - sin(4)4 , então simplificando:

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados

Calcular as integrias a seguir utilizando o método da substituição:
(m) integral d x16+x^2 d x
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
y = 5 - x^2 e y = x + 3
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
g y = 1 - x^2 e y = -3
Calcule as integrais definidas abaixo:
(j) integral4^9 2 t cdot raizt d t