Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área entre os gráficos das funções
e
. Esse tipo de problema faz parte do cálculo integral, onde usamos integrais para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, precisamos descobrir onde as duas funções se cruzam e então integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, resolver
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
onde elas se cruzam.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
:
Portanto, as soluções são:
Então, as funções se cruzam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora que sabemos os pontos de interseção, precisamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de
entre -1 e 2, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença entre
e
de
a
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Agora, calculamos a integral:
Avaliaremos essa antiderivada nos limites de -1 a 2.
Passo 7
Primeiro, substituímos
:
Em seguida, substituímos
:
Passo 8
Agora, subtraímos os valores obtidos:
Portanto, a área entre os gráficos das funções é
unidades quadradas.
Resposta
A área entre os gráficos das funções
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas abaixo:
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
e
Calcule as integrais definidas abaixo: