Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
f(x) = x^2 e g(x) = x + 2

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área entre os gráficos das funções e . Esse tipo de problema faz parte do cálculo integral, onde usamos integrais para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, precisamos descobrir onde as duas funções se cruzam e então integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, resolver :
Subtraindo de ambos os lados:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de onde elas se cruzam.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e :
Portanto, as soluções são:
Então, as funções se cruzam nos pontos e .

Passo 4

Agora que sabemos os pontos de interseção, precisamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de entre -1 e 2, por exemplo, :
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença entre e de a :
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Agora, calculamos a integral:
Avaliaremos essa antiderivada nos limites de -1 a 2.

Passo 7

Primeiro, substituímos :
Em seguida, substituímos :

Passo 8

Agora, subtraímos os valores obtidos:
Portanto, a área entre os gráficos das funções é unidades quadradas.

Resposta

A área entre os gráficos das funções e é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas abaixo:
(j) integral4^9 2 t cdot raizt d t
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
g y = 1 - x^2 e y = -3
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
e f(x) = x + 6 e g(x) = x^3 e h(x) = -x/2
Calcule as integrais definidas abaixo:
(b) integral1^2(d xx^6)