Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área entre os gráficos das funções
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, principalmente de integrais, que nos ajudam a encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde essas funções se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso é importante porque esses pontos vão determinar os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde
:
Resolvendo essa equação:
Tentando valores simples, vemos que
satisfaz:
Então, uma das soluções é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde
:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Somando
dos dois lados:
Então,
é outro ponto de interseção.
Passo 5
Por último, vamos encontrar onde
:
Multiplicando tudo por 2:
Isso nos dá
e
. A última equação não tem soluções reais, então o único ponto de interseção é
.
Passo 6
Agora que temos os pontos de interseção
,
e
, vamos dividir o intervalo em duas partes: de
a
e de
a
.
Passo 7
Na primeira parte, de
a
, a função que está acima é
e a que está abaixo é
. A área nessa parte é:
Passo 8
Vamos calcular essa integral:
Avaliando entre
e
:
Passo 9
Na segunda parte, de
a
, a função que está acima é
e a que está abaixo é
. A área nessa parte ��:
Passo 10
Vamos calcular essa integral:
Avaliando entre
e
:
Resposta
A área total entre os gráficos das funções
,
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
Calcule as integrais definidas abaixo:
Calcule as integrais definidas abaixo:
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e o eixo
.