Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
e f(x) = x + 6 e g(x) = x^3 e h(x) = -x/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área entre os gráficos das funções , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, principalmente de integrais, que nos ajudam a encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde essas funções se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso é importante porque esses pontos vão determinar os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde :
Resolvendo essa equação:
Tentando valores simples, vemos que satisfaz:
Então, uma das soluções é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde :
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Somando dos dois lados:
Então, é outro ponto de interseção.

Passo 5

Por último, vamos encontrar onde :
Multiplicando tudo por 2:
Isso nos dá e . A última equação não tem soluções reais, então o único ponto de interseção é .

Passo 6

Agora que temos os pontos de interseção , e , vamos dividir o intervalo em duas partes: de a e de a .

Passo 7

Na primeira parte, de a , a função que está acima é e a que está abaixo é . A área nessa parte é:

Passo 8

Vamos calcular essa integral:
Avaliando entre e :

Passo 9

Na segunda parte, de a , a função que está acima é e a que está abaixo é . A área nessa parte ��:

Passo 10

Vamos calcular essa integral:
Avaliando entre e :

Resposta

A área total entre os gráficos das funções , e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
f(x) = x^2 e g(x) = x + 2
Calcule as integrais definidas abaixo:
(j) integral4^9 2 t cdot raizt d t
Calcule as integrais definidas abaixo:
(b) integral1^2(d xx^6)
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
f(x) = -4 + x^2 e o eixo x.