Calcule as integrais definidas abaixo:
(j) integral4^9 2 t cdot raizt d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas que envolvem potências de . Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos 2 t cdot raizt = 2 t cdot t^1/2 = 2 t^1 + 1/2 = 2 t^3/2 . Sabemos que é o mesmo que . Então:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral4^9 2 t^3/2 , dt
Vamos aplicar a regra de integração para potências de , que diz que , onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa integral:
integral 2 t^3/2 , dt = 2 cdot t^3/2 + 13/2 + 1 = 2 cdot t^5/25/2 = 2 cdot (25 t^5/2) = 45 t^5/2

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 4 a 9:
45 t^5/2 |4^9 = 45 (9^5/2 - 4^5/2)

Passo 6

Calculando cada termo:
9^5/2 = (9^1/2)^5 = 3^5 = 243
4^5/2 = (4^1/2)^5 = 2^5 = 32

Passo 7

Substituindo de volta:
45 (243 - 32) = 45 times 211 = 8445 = 168,8

Resposta

O valor da integral definida é .

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Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
g y = 1 - x^2 e y = -3
Calcule as integrais definidas abaixo:
(l) integral0^42 sen^2 x d x
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
f(x) = x^2 e g(x) = x + 2
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
e f(x) = x + 6 e g(x) = x^3 e h(x) = -x/2