Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área entre o gráfico da função
e o eixo
. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente da determinação da área entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos onde a função cruza o eixo
e depois integrar a função nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a função
corta o eixo
. Isso acontece quando
. Então, resolvemos a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos que a função cruza o eixo
nos pontos
e
, vamos calcular a área entre esses pontos. A área
pode ser encontrada integrando a função
de
a
:
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:
Passo 6
Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 7
Subtraindo os valores encontrados:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área entre o gráfico da função
e o eixo
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas abaixo:
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
e
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
Escreva a definição de integral de linha de uma função real sobre uma curva lisa
.