Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
f(x) = -4 + x^2 e o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área entre o gráfico da função e o eixo . Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente da determinação da área entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos onde a função cruza o eixo e depois integrar a função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a função corta o eixo . Isso acontece quando . Então, resolvemos a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que sabemos que a função cruza o eixo nos pontos e , vamos calcular a área entre esses pontos. A área pode ser encontrada integrando a função de a :

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:

Passo 6

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores encontrados:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A área entre o gráfico da função e o eixo é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas abaixo:
(b) integral1^2(d xx^6)
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
e f(x) = x + 6 e g(x) = x^3 e h(x) = -x/2
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
d f(x) = x^2 - 1 e g(x) = x + 1
Escreva a definição de integral de linha de uma função real sobre uma curva lisa C.