Calcule a área entre o gráfico das funções
e
durante o intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a área entre os gráficos das funções
e
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Isso é importante porque a área é calculada subtraindo a função que fica abaixo da que está acima.
Passo 3
Vamos calcular os valores das funções nos extremos do intervalo para ver qual está maior:
-
Para
:
-
Para
:
Vemos que
está sempre acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos expressar a área entre as duas curvas usando a integral definida. A fórmula geral para a área entre duas curvas
(acima) e
(abaixo) de
até
é:
Passo 5
Substituindo as funções e os limites no intervalo, temos:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente. As integrais das potências de
são calculadas usando a regra:
Aplicando isso:
Passo 7
Agora, somamos as integrais:
Passo 8
Vamos calcular isso nos limites de 5 e 2:
Para
:
Para
:
Passo 9
Finalmente, subtraímos os valores:
Resposta
A área entre os gráficos das funções
e
no intervalo de
a
é aproximadamente
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir:
.
Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais:
.
Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais:
.
Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais:
.