Calcule a área entre o gráfico das funções e durante o intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a área entre os gráficos das funções e no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Isso é importante porque a área é calculada subtraindo a função que fica abaixo da que está acima.

Passo 3

Vamos calcular os valores das funções nos extremos do intervalo para ver qual está maior:
  • Para :

  • Para :

Vemos que está sempre acima de nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos expressar a área entre as duas curvas usando a integral definida. A fórmula geral para a área entre duas curvas (acima) e (abaixo) de até é:
Á

Passo 5

Substituindo as funções e os limites no intervalo, temos:
Á

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. As integrais das potências de são calculadas usando a regra:
Aplicando isso:

Passo 7

Agora, somamos as integrais:

Passo 8

Vamos calcular isso nos limites de 5 e 2:
Para :
Para :

Passo 9

Finalmente, subtraímos os valores:

Resposta

A área entre os gráficos das funções e no intervalo de a é aproximadamente unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: .
Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais: .
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