Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais: integral0^1 y^2-3 y+44y+3 d y.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^1 y^2-3 y+44y+3 , dy utilizando a técnica de mudança de variável. Nessa resolução, vamos precisar entender como simplificar a fração algébrica e aplicar propriedades básicas da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão y^2-3 y+44y+3 fazendo uma divisão polinomial. Isso nos ajudará a reescrever a fração de uma forma mais fácil de integrar.

Passo 3

Dividindo y^2-3y+44 por y+3:
r|l y + 3 & y^2 - 3y + 44 hline y - 6 & y^2 + 3y hline & -6y + 44 & -6y - 18 hline & 62
Portanto, y^2-3y+44 = (y - 6)(y + 3) + 62.
Assim, a fração original pode ser reescrita como:
y^2-3 y+44y+3 = y - 6 + 62y+3

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral:
integral0^1 y^2-3 y+44y+3 , dy = integral0^1 ( y - 6 + 62y+3 ) dy
Essa divisão simplifica a integral em três partes mais fáceis de resolver.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Para integral y , dy, usamos a regra básica da integração: integral y , dy = y^22.
  2. Para integral -6 , dy, a integral é direta: integral -6 , dy = -6y.
  3. Para integral 62y+3 , dy, sabemos que integral 1u , du = ln|u| + C, onde u = y + 3. Então:
integral 62y+3 , dy = 62 ln|y + 3|

Passo 6

Agora, juntando todas as integrais:
integral0^1 ( y - 6 + 62y+3 ) dy = [ y^22 - 6y + 62 ln(y + 3) ]0^1

Passo 7

Vamos calcular os valores de y = 1 e y = 0 na expressão encontrada:
Para y = 1:
1^22 - 6(1) + 62 ln(1 + 3) = 12 - 6 + 62 ln(4)
Para y = 0:
0^22 - 6(0) + 62 ln(0 + 3) = 0 + 0 + 62 ln(3)

Passo 8

Subtraindo os valores:
( 12 - 6 + 62 ln(4) ) - ( 0 + 0 + 62 ln(3) ) = 12 - 6 + 62 (ln(4) - ln(3))
Simplificando:
- 112 + 62 ln(43)

Resposta

A integral integral0^1 y^2-3 y+44y+3 , dy é igual a - 112 + 62 ln(43).

Exercícios relacionados