Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais:
.
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
utilizando a técnica de mudança de variável. Nessa resolução, vamos precisar entender como simplificar a fração algébrica e aplicar propriedades básicas da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
fazendo uma divisão polinomial. Isso nos ajudará a reescrever a fração de uma forma mais fácil de integrar.
Passo 3
Dividindo
por
:
Portanto,
.
Assim, a fração original pode ser reescrita como:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na integral:
Essa divisão simplifica a integral em três partes mais fáceis de resolver.
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Para
, usamos a regra básica da integração: . - Para
, a integral é direta: . - Para
, sabemos que , onde . Então:
Passo 6
Agora, juntando todas as integrais:
Passo 7
Vamos calcular os valores de
e
na expressão encontrada:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a área entre o gráfico das funções
e
durante o intervalo
.
Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir:
.
Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais:
.
Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais:
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