Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: integral1^2 x 2^x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^2 x cdot 2^x^2 , dx. Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Observando a função 2^x^2, percebemos que o expoente x^2 pode ser uma boa escolha para substituição. Vamos definir:
u = x^2

Passo 3

Agora, precisamos derivar u em relação a x para encontrar du. Fazendo isso:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que:
x , dx = du2

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de u:
integral1^2 x cdot 2^x^2 , dx = integralu=1^2^u=2^2 2^u cdot du2
Simplificando os limites de integração:
integral1^4 2^u2 , du = 12 integral1^4 2^u , du

Passo 5

Agora, vamos integrar 2^u em relação a u. Sabemos que a integral de a^u é:
integral a^u , du = a^uln a + C
Aplicando isso:
integral 2^u , du = 2^uln 2 + C

Passo 6

Voltando à nossa integral:
12 integral1^4 2^u , du = 12 [ 2^uln 2 ]1^4
Substituindo os limites de integração:
12 ( 2^4 - 2^1ln 2 ) = 12 ( 16 - 2ln 2 ) = 142 ln 2 = 7ln 2

Resposta

A integral integral1^2 x cdot 2^x^2 , dx é igual a dfrac7ln 2.

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