Calcule a área
А) integral0^2(raizx+2-1x+1)=83+2^5 / 26+ln (3)
B) integral0^2(raizx+2-1x+1)=16+raiz2^53+ln (3)
○ c) integral0^2(raizx+2-1x+1)=16-raiz2^53-ln (3)
○ D) integral0^2(raizx+2-1x+1)=323-raiz2^56-ln (3)
E) integral0^2(raizx+2-1x+1)=163+2^5 / 26+ln (3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 2. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração para funções polinomiais e racionais.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^2 ( raizx+2 - 1x+1 ) dx = integral0^2 raizx+2 , dx - integral0^2 1x+1 , dx

Passo 3

Primeira parte: integral raizu , du = 23 u^3/2 + C = 23 (x+2)^3/2 + C
Vamos usar a substituição 23 (2+2)^3/2 - 23 (0+2)^3/2 = 23 times 8 - 23 times 2^3/2 , então 163 - 43 raiz2 . A integral fica:
Agora, aplicamos os limites de 0 a 2:
Simplificando:

Passo 4

Segunda parte: ln(2+1) - ln(0+1) = ln(3) - 0 = ln(3)
Sabemos que a integral de é . Aplicando os limites de 0 a 2:

Passo 5

Agora, vamos juntar as duas partes:
( 163 - 43 raiz2 ) - ln(3) = 16 - 4raiz23 - ln(3)
Como 16 - raiz2^53 - ln(3) , podemos reescrever:

Resposta

A resposta correta é a opção c):
integral0^2(raizx+2-1x+1)dx = 16 - raiz2^53 - ln(3)

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