Sejam
e
dadas por
Use a regra da cadeia para calcular a matriz jacobiana de
o
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções dadas:
O objetivo aqui é usar a regra da cadeia para calcular a matriz jacobiana da composição das duas funções, ou seja,
. Vamos precisar entender o que é matriz jacobiana e como aplicar a regra da cadeia para compor derivadas de funções multivariáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz jacobiana. Para uma função que vai de
para
, a matriz jacobiana é uma matriz
onde cada entrada é a derivada parcial de uma função componente em relação a uma variável.
No nosso caso,
e
. A composição
será uma função que vai de
para
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas. A regra da cadeia nos diz que a derivada da composição
é o produto das derivadas de
e
.
Matematicamente, isso fica assim:
Onde:
-
é a matriz jacobiana da composição. -
é a matriz jacobiana de avaliada em . -
é a matriz jacobiana de em .
Passo 4
Vamos calcular a matriz jacobiana de
primeiro. A função
tem derivadas parciais:
Então, a matriz jacobiana de
é:
Como
mapeia para
, a matriz jacobiana é uma linha.
Passo 5
Agora, vamos calcular a matriz jacobiana de
. A função
tem duas componentes, então vamos derivar cada componente em relação a
e
:
Para a primeira componente
:
Para a segunda componente
:
Então, a matriz jacobiana de
é:
Passo 6
Agora, vamos avaliar
em
, ou seja, substituir
e
de
por
:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a regra da cadeia multiplicando
por
:
Vamos multiplicar as matrizes:
Simplificando:
Resposta
A matriz jacobiana da composição
é:
Exercícios relacionados
Calcule a área
А)
B)
○ c)
○ D)
E)
B)
○ c)
○ D)
E)
Calcule a área da região limitada pelas curvas das equaçöes
Dica: Observe na integração a região onde
e a região onde
.
А)
B)
C)
D)
E)
B)
C)
D)
E)
Sejam
e
dadas por
Calcule as matrizes jacobianas de
e
;
Sejam
e
funções de classe
tais que
Usando a regra da cadeia verifique que
ou para os masoquistas
Dica: As entradas da matriz jacobiana de
são
e
.