Sejam f: R^2 -> R e g: R² -> R² dadas por
f(x, y) = x^2 - y^2 e g(x, y) = (e^(-x - y), e^(x y))
Use a regra da cadeia para calcular a matriz jacobiana de f o g;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções dadas:
O objetivo aqui é usar a regra da cadeia para calcular a matriz jacobiana da composição das duas funções, ou seja, . Vamos precisar entender o que é matriz jacobiana e como aplicar a regra da cadeia para compor derivadas de funções multivariáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz jacobiana. Para uma função que vai de para , a matriz jacobiana é uma matriz onde cada entrada é a derivada parcial de uma função componente em relação a uma variável.
No nosso caso, e . A composição será uma função que vai de para .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas. A regra da cadeia nos diz que a derivada da composição é o produto das derivadas de e .
Matematicamente, isso fica assim:
Onde:
  • é a matriz jacobiana da composição.
  • é a matriz jacobiana de avaliada em .
  • é a matriz jacobiana de em .

Passo 4

Vamos calcular a matriz jacobiana de primeiro. A função tem derivadas parciais:
Então, a matriz jacobiana de é:
Como mapeia para , a matriz jacobiana é uma linha.

Passo 5

Agora, vamos calcular a matriz jacobiana de . A função tem duas componentes, então vamos derivar cada componente em relação a e :
Para a primeira componente :
Para a segunda componente :
Então, a matriz jacobiana de é:

Passo 6

Agora, vamos avaliar em , ou seja, substituir e de por :

Passo 7

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia multiplicando por :
Vamos multiplicar as matrizes:
Simplificando:

Resposta

A matriz jacobiana da composição é:

Exercícios relacionados