Calcule a área da região limitada pelas curvas das equaçöes
f(x)=-x^2+5 x, g(x)=2 x-4
h(x)=-4 x+8
Dica: Observe na integração a região onde f(x) >= h(x) e a região onde f(x) >= g(x).
А) integral1^2(x^2-9 x+8) d x+integral2^4(x^2-3 x-4) d x
B) integral1^2(-x^2+9 x-8) d x+integral2^4(-x^2+3 x+4) d x
C) integral1^2(x^2-9 x+8) d x+integral2^3(x^2+x-12) d x
D) integral1^2(-x^2+9 x-8) d x+integral2^3(-x^2-x+12) d x
E) integral1^2(-x^2+9 x+8) d x+integral2^4(-x^2+3 x-4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são três funções: , e . A tarefa é calcular a área da região que está limitada por essas curvas. Para isso, vamos precisar entender onde essas funções se encontram e como elas se posicionam umas em relação às outras. Vamos usar cálculo integral para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as funções se cruzam, ou seja, onde -x^2 + 5x = -4x + 8 e -x^2 + 9x - 8 = 0 .
  1. Intersecção entre -x^2 + 5x = 2x - 4 e -x^2 + 3x + 4 = 0 :
    Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes em e .
  2. Intersecção entre e :
    Resolvendo essa equação, encontramos as raízes em e .

Passo 3

Agora, vamos identificar onde cada função está acima da outra dentro dos intervalos definidos pelos pontos de interseção.
  • Entre e : A função está acima de .
  • Entre e : A função está acima de .
Isso significa que a área que queremos calcular está dividida em duas partes: uma de a e outra de a .

Passo 4

Vamos montar as integrais para calcular a área em cada um desses intervalos.
  1. De integral1^2 (-x^2 + 9x - 8) , dx a integral2^4 (-x^2 + 3x + 4) , dx :
    Aqui, representa a diferença entre e .
  2. De a :
    Aqui, representa a diferença entre e .

Resposta

A resposta correta é a opção B:
integral1^2(-x^2+9 x-8) d x+integral2^4(-x^2+3 x+4) d x

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