Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas em cada item abaixo, no ponto especificado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva definida por , , no ponto . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas de funções vetoriais para encontrar a reta tangente. Precisamos identificar o valor de que corresponde ao ponto dado e calcular as derivadas das funções paramétricas nesse valor para determinar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de que nos dá o ponto . Vamos igualar cada componente:
Então, o valor de que corresponde ao ponto dado é .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das funções paramétricas em relação a :
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no valor de :
Essas derivadas nos dão o vetor diretor da reta tangente, que é .
Passo 5
Agora que temos o ponto e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde é o ponto dado e são as componentes do vetor diretor, e é o parâmetro.