Sejam
e
dadas por
Calcule as matrizes jacobianas de
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as matrizes jacobianas das funções
e
. Isso está relacionado ao estudo de cálculo multivariável, mais especificamente à derivação de funções que têm mais de uma variável de entrada. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada componente das funções em relação às suas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a matriz jacobiana da função
. A função
está definida por:
Como
tem apenas uma saída, sua matriz jacobiana será uma matriz
, onde cada elemento é a derivada parcial de
em relação a
e
, respectivamente.
Vamos calcular essas derivadas:
-
Derivada parcial de
em relação a : -
Derivada parcial de
em relação a :
Portanto, a matriz jacobiana de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a matriz jacobiana da função
. A função
está definida por:
Como
tem duas saídas, sua matriz jacobiana será uma matriz
. Cada elemento da matriz é a derivada parcial de cada componente de
em relação a
e
.
Vamos calcular essas derivadas:
-
Primeira componente de
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
-
-
Segunda componente de
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
-
Agora, organizando as derivadas na matriz jacobiana:
Resposta
As matrizes jacobianas das funções
e
são:
e
Exercícios relacionados
Sejam
e
dadas por
Use a regra da cadeia para calcular a matriz jacobiana de
o
;
Calcule a área
А)
B)
○ c)
○ D)
E)
B)
○ c)
○ D)
E)
Sejam
e
funções de classe
tais que
Usando a regra da cadeia verifique que
ou para os masoquistas
Dica: As entradas da matriz jacobiana de
são
e
.
Sejam
e
funções de classe
tais que
Aplique uma fórmula semelhante para calcular
em que
e