Calcule a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas dadas em coordenadas polares:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área onde duas regiões se sobrepõem, que estão definidas por duas curvas em coordenadas polares:
e
. Vamos usar conceitos de geometria em coordenadas polares e cálculo integral para achar essa área de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das curvas:
-
: Essa é a equação de um círculo com raio 3, centrado na origem. -
: Essa é a equação de um cardióide, que parece um coração, também centrado na origem.
Passo 3
Para achar a área de interseção, precisamos descobrir os pontos onde essas curvas se cruzam. Isso significa encontrar os valores de
onde
é igual para as duas equações.
Então, igualamos as duas equações:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Passo 5
Sabemos que
ocorre em dois pontos no intervalo de
a
:
e
. Esses são os ângulos onde as duas curvas se intersectam.
Passo 6
Agora, para encontrar a área de interseção, precisamos integrar a diferença entre as funções de
nos intervalos onde uma está dentro da outra. Observando as curvas, percebemos que o cardióide está dentro do círculo entre
e
.
A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Aqui,
será o círculo (
) e
será o cardióide (
).
Passo 7
Vamos substituir na fórmula:
Passo 8
Vamos resolver essa integral passo a passo:
- Integral de 5:
- Integral de
:
- Integral de
:
Para integrar, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 9
Juntando todas as integrais:
Passo 10
Agora, vamos calcular nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 11
Subtraindo os valores:
Passo 12
Multiplicando pelo
:
Resposta
A área de interseção das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidades de área.
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(j) .
(j)
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