Calcule a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas dadas em coordenadas polares:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área onde duas regiões se sobrepõem, que estão definidas por duas curvas em coordenadas polares: e . Vamos usar conceitos de geometria em coordenadas polares e cálculo integral para achar essa área de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das curvas:
  • : Essa é a equação de um círculo com raio 3, centrado na origem.
  • : Essa é a equação de um cardióide, que parece um coração, também centrado na origem.

Passo 3

Para achar a área de interseção, precisamos descobrir os pontos onde essas curvas se cruzam. Isso significa encontrar os valores de onde é igual para as duas equações.
Então, igualamos as duas equações:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :

Passo 5

Sabemos que ocorre em dois pontos no intervalo de a : e . Esses são os ângulos onde as duas curvas se intersectam.

Passo 6

Agora, para encontrar a área de interseção, precisamos integrar a diferença entre as funções de nos intervalos onde uma está dentro da outra. Observando as curvas, percebemos que o cardióide está dentro do círculo entre e .
A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Aqui, será o círculo ( ) e será o cardióide ( ).

Passo 7

Vamos substituir na fórmula:

Passo 8

Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Integral de 5:
  1. Integral de :
  1. Integral de :
    Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então,

Passo 9

Juntando todas as integrais:

Passo 10

Agora, vamos calcular nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 11

Subtraindo os valores:

Passo 12

Multiplicando pelo :

Resposta

A área de interseção das regiões limitadas pelas curvas e é unidades de área.

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(j) .
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