Calcule os seguintes Limites: lim x infty(x-1x+1)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O que a gente tem aqui é o limite quando vai para o infinito de . A matéria que vamos usar envolve limites, especialmente aqueles que lidam com expressões exponenciais. Para resolver, precisamos entender como simplificar a expressão e aplicar propriedades de limites que envolvem o número .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Observa que:
x-1x+1 = x+1-2x+1 = 1 - 2x+1
Então, nossa expressão fica:
(1 - 2x+1)^x

Passo 3

Agora, vamos reescrever o limite de uma forma que se assemelhe à fórmula conhecida:
limx to infty (1 + ax)^x = e^a
Para isso, precisamos ajustar nossa expressão para se encaixar nessa forma. Vamos fazer algumas manipulações:
(1 - 2x+1)^x = [(1 - 2x+1)^x+1-2]^-2 cdot xx+1

Passo 4

Agora, reconhecemos que conforme limx to infty (1 - 2x+1)^x = e^-2 tende ao infinito, tende a 1. Portanto, podemos aplicar a fórmula do limite:

Resposta

O limite é igual a .

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