Determine os seguintes limites:
(j) lim x 1(1x-1-31-x^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Isso envolve conceitos de limites em cálculo, especialmente lidando com frações que tendem ao infinito. Vamos precisar simplificar a expressão e entender como os termos se comportam perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a segunda fração 31 - x^2 = 3(1 - x)(1 + x) . Sabemos que pode ser fatorado como . Então:

Passo 3

Observa que 3(1 - x)(1 + x) = 3-(x - 1)(1 + x) = -3(x - 1)(1 + x) . Vamos substituir isso na fração:

Passo 4

Agora, nossa expressão original fica:
1x - 1 - 31 - x^2 = 1x - 1 + 3(x - 1)(1 + x)

Passo 5

Para simplificar, vamos colocar as frações sob o mesmo denominador, que é 1 cdot (1 + x)(x - 1)(1 + x) + 3(x - 1)(1 + x) = 1 + x + 3(x - 1)(1 + x) :

Passo 6

Simplificamos o numerador:
1 + x + 3 = x + 4
Então, a expressão fica:
x + 4(x - 1)(1 + x) = x + 4(x - 1)(x + 1)

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite quando limx to 1 x + 4(x - 1)(x + 1) se aproxima de 1:
Substituindo no numerador e denominador:
Numerador:
Denominador:
Isso nos mostra que a expressão tende a , o que indica que o limite tende ao infinito.

Resposta

O limite é .

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