Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado.
(a) y = 3 * raiz(x), para 0 <= x <= 4, em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a área lateral da superfície gerada quando a curva no intervalo de é girada em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o conceito de superfície de revolução da área lateral, que envolve cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para encontrar a área lateral de uma superfície de revolução em torno do eixo . A fórmula é:
Aqui, é a função que está sendo girada, e é a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

Vamos identificar nossa função e os limites de integração. Temos:
Nosso intervalo vai de até .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular :

Passo 6

Agora, vamos montar a integral com todos os valores que encontramos:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral . Podemos usar a substituição:
A integral se transforma em:
Voltando para :

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
Sabendo que , temos:

Passo 9

Finalmente, multiplicamos pelo que tínhamos na frente da integral:

Resposta

A área lateral da superfície de revolução é unidades quadradas.

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