Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado.
(a)
, para
, em torno do eixo
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a área lateral da superfície gerada quando a curva
no intervalo de
é girada em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de superfície de revolução da área lateral, que envolve cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para encontrar a área lateral de uma superfície de revolução em torno do eixo
. A fórmula é:
Aqui,
é a função que está sendo girada, e
é a derivada dessa função em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar nossa função e os limites de integração. Temos:
Nosso intervalo vai de
até
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular
:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral com todos os valores que encontramos:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral
. Podemos usar a substituição:
A integral se transforma em:
Voltando para
:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
Sabendo que
, temos:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos pelo
que tínhamos na frente da integral:
Resposta
A área lateral da superfície de revolução é
unidades quadradas.