Um paraboloide sólido de revolução é gerado pela revolução da região limitada pelo gráfico de , o eixo e a reta em torno do eixo : Calcule o volume do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o volume de um paraboloide gerado pela rotação da curva em torno do eixo , limitado entre e . Para isso, vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Quando a gente gira uma curva em torno de um eixo, podemos imaginar que o sólido formado é composto por infinitos discos empilhados. A área de cada disco é , onde é a função que define a curva.

Passo 3

No nosso caso, a função é . Então, a área de cada disco será . Vamos simplificar essa expressão:

Passo 4

Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa área de disco ao longo do intervalo de até . A integral fica assim:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Primeiro, podemos tirar os termos constantes fora da integral:
A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Agora, substituímos os limites da integral:

Resposta

O volume do sólido é .

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Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
5. ;
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: e em torno do eixo .
Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado.
(a) , para , em torno do eixo .
Determine a derivada das funções vetoriais: