Um paraboloide sólido de revolução é gerado pela revolução da região limitada pelo gráfico de
, o eixo
e a reta
em torno do eixo
: Calcule o volume do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o volume de um paraboloide gerado pela rotação da curva
em torno do eixo
, limitado entre
e
. Para isso, vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Quando a gente gira uma curva em torno de um eixo, podemos imaginar que o sólido formado é composto por infinitos discos empilhados. A área de cada disco é
, onde
é a função que define a curva.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Então, a área de cada disco será
. Vamos simplificar essa expressão:
Passo 4
Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa área de disco ao longo do intervalo de
até
. A integral fica assim:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Primeiro, podemos tirar os termos constantes fora da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 6
Agora, substituímos os limites da integral:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
5. ;
5.
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
e
em torno do eixo
.
Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado.
(a) , para
, em torno do eixo
.
(a)
Determine a derivada das funções vetoriais: