Determine a derivada das funções vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função vetorial dada:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções escalares, já que vamos derivar cada componente da nossa função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma função vetorial como essa é composta por várias funções escalares multiplicadas por vetores unitários. No nosso caso:
  • A componente na direção de é .
  • A componente na direção de é .
  • A componente na direção de é .
Para encontrar a derivada da função vetorial , vamos derivar cada uma dessas componentes em relação a separadamente.

Passo 3

Vamos começar derivando cada componente:
  1. Componente de :
    Temos . A derivada de em relação a é . Então,
  2. Componente de :
    Temos . A derivada de uma constante é zero e a derivada de é . Então,
  3. Componente de :
    Temos , que pode ser escrita como . Usando a regra da potência,

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas das componentes, a derivada da função vetorial é:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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