Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
5.
;
5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. A função
é definida em partes:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e como resolver problemas com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, supomos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Como
nunca é zero, a equação característica é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como
é uma função por partes, vamos resolver para os dois intervalos separadamente.
Para
:
Aqui,
. Vamos assumir uma solução particular constante
, onde
é uma constante a ser determinada.
Substituindo na equação:
Então, a solução particular nesse intervalo é
.
Passo 6
Para
:
Aqui,
, então a equação se torna homogênea:
A solução geral nesse intervalo será a mesma da solução homogênea:
Passo 7
Agora, vamos juntar tudo para a solução completa. Para
:
Aplicamos as condições iniciais
e
:
Para
:
Derivando
:
Para
:
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Logo,
.
Passo 8
Então, para
, a solução é:
Para
, a solução é homogênea e precisa satisfazer a continuidade em
. Isso significa que
e
devem ser iguais nos dois lados de
.
Passo 9
Após calcular as condições de continuidade em
, obtemos as constantes para
. A solução completa fica assim:
As constantes
e
são determinadas pelas condições de continuidade em
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial dado é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições de continuidade em
.
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e
em torno do eixo
.
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, o eixo
e a reta
em torno do eixo
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(a) , para
, em torno do eixo
.
(a)