Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
5. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . A função é definida em partes:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e como resolver problemas com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, supomos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Como nunca é zero, a equação característica é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Portanto, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como é uma função por partes, vamos resolver para os dois intervalos separadamente.
Para :
Aqui, . Vamos assumir uma solução particular constante , onde é uma constante a ser determinada.
Substituindo na equação:
Então, a solução particular nesse intervalo é .

Passo 6

Para :
Aqui, , então a equação se torna homogênea:
A solução geral nesse intervalo será a mesma da solução homogênea:

Passo 7

Agora, vamos juntar tudo para a solução completa. Para :
Aplicamos as condições iniciais e :
Para :
Derivando :
Para :
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Logo, .

Passo 8

Então, para , a solução é:
Para , a solução é homogênea e precisa satisfazer a continuidade em . Isso significa que e devem ser iguais nos dois lados de .

Passo 9

Após calcular as condições de continuidade em , obtemos as constantes para . A solução completa fica assim:
As constantes e são determinadas pelas condições de continuidade em .

Resposta

A solução do problema de valor inicial dado é:
onde e são constantes determinadas pelas condições de continuidade em .

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: e em torno do eixo .
Determine a área limitada pelas curvas em coordenadas polares, entre os valores de indicados:
Um paraboloide sólido de revolução é gerado pela revolução da região limitada pelo gráfico de , o eixo e a reta em torno do eixo : Calcule o volume do sólido.
Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado.
(a) , para , em torno do eixo .