Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado:
, para
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área lateral da superfície que você obtém ao girar a curva
no intervalo de
ao redor do eixo
. Para isso, vamos usar Cálculo Integral, mais especificamente, a fórmula para áreas de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para a área lateral de uma superfície de revolução. Quando a curva
é girada em torno do eixo
, a área lateral
é dada por:
Aqui,
é a derivada da função
em relação a
, e
é o intervalo de
que estamos considerando, que neste caso é de 0 a 4.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Dada a função:
A derivada é:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da área lateral:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, calculamos a integral de
:
Portanto,
Passo 8
Agora, voltamos à variável original
:
Avaliando de
a
:
Passo 9
Calculando as potências:
Substituindo de volta:
Passo 10
Podemos fatorar
:
Resposta
A área lateral da superfície de revolução é: