Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado: y = x^2 / 4, para 0 <= x <= 4, em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área lateral da superfície que você obtém ao girar a curva no intervalo de ao redor do eixo . Para isso, vamos usar Cálculo Integral, mais especificamente, a fórmula para áreas de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para a área lateral de uma superfície de revolução. Quando a curva é girada em torno do eixo , a área lateral é dada por:
Aqui, é a derivada da função em relação a , e é o intervalo de que estamos considerando, que neste caso é de 0 a 4.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Dada a função:
A derivada é:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula da área lateral:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, calculamos a integral de :
Portanto,

Passo 8

Agora, voltamos à variável original :
Avaliando de a :

Passo 9

Calculando as potências:
Substituindo de volta:

Passo 10

Podemos fatorar :

Resposta

A área lateral da superfície de revolução é:
á

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Um sólido é gerado por um hexágono variável que se move de modo que seu plano seja sempre perpendicular ao diâmetro dado de um círculo fixo de raio a, o centro do hexágono estando neste diâmetro, e dois vértices opostos estando na fronteira do círculo. Calcule o volume do sólido.
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: x^2 = 4(1 - y) e y = 0 em torno da reta y = 3.
Determine a derivada das funções vetoriais: r(t) = e^t cos(t) i + e^t sen(t) j + ln |t| k
Determine o versor tangente T = r(t) / ||r(t)|| no ponto com valor do parâmetro t dado: r(t) = raiz(t) * i + (t - t^2) * j + arctg(t) * k, t = pi / 2.