Determine o versor tangente T = r(t) / ||r(t)|| no ponto com valor do parâmetro t dado: r(t) = raiz(t) * i + (t - t^2) * j + arctg(t) * k, t = pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o versor tangente T no ponto onde o parâmetro t é igual a . Para isso, vamos trabalhar com vetores e entender como normalizar um vetor, ou seja, transformar ele em um vetor de comprimento 1. Vamos precisar calcular a posição do vetor vec(r)(t) nesse valor de t e depois dividir esse vetor pelo seu próprio comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor posição vec(r)(t) quando . A fórmula do vetor é:
Substituindo t por :

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento (ou norma) desse vetor . A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Simplificando:

Passo 4

Finalmente, para encontrar o versor tangente T, vamos dividir cada componente do vetor pelo seu comprimento que calculamos:

Resposta

O versor tangente no ponto onde é dado por:

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