Um sólido é gerado por um hexágono variável que se move de modo que seu plano seja sempre perpendicular ao diâmetro dado de um círculo fixo de raio
, o centro do hexágono estando neste diâmetro, e dois vértices opostos estando na fronteira do círculo. Calcule o volume do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido formado por um hexágono que se movimenta de uma maneira específica. A matéria envolvida aqui é geometria espacial e cálculo de volumes por integração. Vamos precisar entender como o hexágono se move e como isso afeta o volume final do sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do hexágono. O hexágono está sempre perpendicular a um diâmetro de um círculo fixo de raio
. O centro do hexágono está no diâmetro, e dois vértices opostos estão na borda do círculo. Isso significa que o hexágono está girando em torno do diâmetro, mantendo esses dois vértices sempre tocando o círculo.
Passo 3
Como o hexágono está sempre perpendicular ao diâmetro, podemos imaginar que ele está “varrendo” uma área enquanto se move. Para calcular o volume do sólido formado, vamos usar a integração, somando todas as pequenas áreas do hexágono ao longo do movimento.
Passo 4
Vamos determinar a área do hexágono em função da posição ao longo do diâmetro. Sabemos que um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero de lado
é
. Então, a área do hexágono é
.
Passo 5
Precisamos relacionar o lado do hexágono
com a posição no diâmetro. Como os vértices opostos estão na borda do círculo de raio
, a distância entre esses vértices é o diâmetro do círculo, ou seja,
. Num hexágono regular, a distância entre dois vértices opostos é
. Portanto, temos
, o que implica que
.
Passo 6
Agora que sabemos que
, substituímos na fórmula da área do hexágono:
Passo 7
Para encontrar o volume, consideramos que o hexágono se move ao longo do diâmetro, que tem comprimento
. Assim, o volume
é a área do hexágono multiplicada pelo comprimento do diâmetro:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
e
em torno da reta
.
Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de
indicados:
Calcule a área (lateral) da superfície de revolução obtida pela rotação de cada curva em torno do eixo dado:
, para
, em torno do eixo
.
Determine a derivada das funções vetoriais: