Um sólido é gerado por um hexágono variável que se move de modo que seu plano seja sempre perpendicular ao diâmetro dado de um círculo fixo de raio a, o centro do hexágono estando neste diâmetro, e dois vértices opostos estando na fronteira do círculo. Calcule o volume do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido formado por um hexágono que se movimenta de uma maneira específica. A matéria envolvida aqui é geometria espacial e cálculo de volumes por integração. Vamos precisar entender como o hexágono se move e como isso afeta o volume final do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do hexágono. O hexágono está sempre perpendicular a um diâmetro de um círculo fixo de raio . O centro do hexágono está no diâmetro, e dois vértices opostos estão na borda do círculo. Isso significa que o hexágono está girando em torno do diâmetro, mantendo esses dois vértices sempre tocando o círculo.

Passo 3

Como o hexágono está sempre perpendicular ao diâmetro, podemos imaginar que ele está “varrendo” uma área enquanto se move. Para calcular o volume do sólido formado, vamos usar a integração, somando todas as pequenas áreas do hexágono ao longo do movimento.

Passo 4

Vamos determinar a área do hexágono em função da posição ao longo do diâmetro. Sabemos que um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero de lado é . Então, a área do hexágono é .

Passo 5

Precisamos relacionar o lado do hexágono com a posição no diâmetro. Como os vértices opostos estão na borda do círculo de raio , a distância entre esses vértices é o diâmetro do círculo, ou seja, . Num hexágono regular, a distância entre dois vértices opostos é . Portanto, temos , o que implica que .

Passo 6

Agora que sabemos que , substituímos na fórmula da área do hexágono:

Passo 7

Para encontrar o volume, consideramos que o hexágono se move ao longo do diâmetro, que tem comprimento . Assim, o volume é a área do hexágono multiplicada pelo comprimento do diâmetro:

Resposta

O volume do sólido é .

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