Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: e em torno da reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pelas curvas e em torno da reta . Vamos usar o método dos discos ou anéis para achar esse volume. Para isso, precisamos entender onde as curvas se interceptam e configurar a integral correta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. A equação pode ser rearranjada para , que é uma parábola voltada para baixo com vértice em (0,1). A outra curva é , que é o eixo x. Vamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então, as curvas se intersectam nos pontos (-2, 0) e (2, 0). Isso significa que nosso intervalo de integração para vai de -2 a 2.
Passo 4
Agora, como vamos rotacionar em torno da reta , que está acima da nossa região (já que é o ponto mais alto da parábola), usaremos o método dos discos/anel. A fórmula para o volume nesse caso é:
onde é a distância da reta de rotação ao limite externo e ao interno. Mas como estamos trabalhando com como variável, adaptaremos a fórmula.
Passo 5
Vamos reescrever a fórmula em termos de . A distância da reta de rotação ao ponto é . Então, o volume será:
Substituindo pela expressão da parábola :
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então:
Expandindo o quadrado:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral separadamente:
Passo 8
Somando todas as partes:
Convertendo -20 para um denominador comum:
Então:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto: