Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: x^2 = 4(1 - y) e y = 0 em torno da reta y = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pelas curvas e em torno da reta . Vamos usar o método dos discos ou anéis para achar esse volume. Para isso, precisamos entender onde as curvas se interceptam e configurar a integral correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. A equação pode ser rearranjada para , que é uma parábola voltada para baixo com vértice em (0,1). A outra curva é , que é o eixo x. Vamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então, as curvas se intersectam nos pontos (-2, 0) e (2, 0). Isso significa que nosso intervalo de integração para vai de -2 a 2.

Passo 4

Agora, como vamos rotacionar em torno da reta , que está acima da nossa região (já que é o ponto mais alto da parábola), usaremos o método dos discos/anel. A fórmula para o volume nesse caso é:
onde é a distância da reta de rotação ao limite externo e ao interno. Mas como estamos trabalhando com como variável, adaptaremos a fórmula.

Passo 5

Vamos reescrever a fórmula em termos de . A distância da reta de rotação ao ponto é . Então, o volume será:
Substituindo pela expressão da parábola :

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então:
Expandindo o quadrado:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral separadamente:

Passo 8

Somando todas as partes:
Convertendo -20 para um denominador comum:
Então:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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